Банк задач по математике

Задача 35.1

(1)(2)(3)

Пусть $\xi^{1}, \xi^{2}$ и $\eta^{1}, \eta^{2}$ — координаты векторов $x$ и $y$ в произвольном базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа:

?

(1)

$\xi^{1} + \xi^{2}$

(2)

$\xi^{1} + \eta^{1}$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} \xi^{1} & \eta^{1} \\ \xi^{2} & \eta^{2}\end{smallmatrix}\right]$

Как изменяются эти числа при замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором.

Задача 35.2

(1)(2)

Сопоставим каждому базису в линейном пространстве $\mathcal{L}_{n}$ :

?

(1)

число $1$

(2)

упорядоченный набор чисел $1, \ldots , n$ . Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом?

Задача 35.3

Пусть $\varphi$ — линейное преобразование линейного пространства $\mathcal{L}_{3}$ . Обозначим через $A = \left\| a_{j}^{i}\right\|$ его матрицу в произвольном базисе. В каких случаях указанные величины определяют инвариант:

?

(1)

$\operatorname {det} A$

(2)

$\cos \operatorname {det} A$

(3)

$\operatorname {Rg} A$

(4)

$\operatorname {det} A^{T} A$

(5)

$a_{1}^{1} + a_{2}^{2}$

(6)

$a_{1}^{1} + a_{2}^{2} + a_{3}^{3}$

Задача 35.4

Пусть b — билинейная функция, $B = \left\| b_{ij}\right\|$ — ее матрица в произвольном базисе пространства $\mathcal{L}_{n}$ . Как изменяется каждая из указанных величин при замене базиса? B каких случаях она определяет инвариант?

?

(1)

$\operatorname {det} B$

(2)

$b_{11} + \ldots + b_{nn}$

(3)

$b_{11}$

(4)

$\operatorname {det} B^{T} B$

(5)

$\operatorname {Rg} B$

(6)

$\operatorname {sign} \operatorname {det} B$ .

Задача 35.5

(1)(2)

Пусть $\mathrm{f}$ — линейная функция на линейном пространстве $\mathcal{L}_{n}$ и $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису:

?

(1)

число $a_{1} + \ldots + a_{n}$

(2)

упорядоченный набор чисел $a_{1}, \ldots , a_{n}$ .

Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами?

Задача 35.6

(1)(2)

?

(1)

Какого типа тензор в $\mathcal{L}_{n}$ определяет билинейная функция? Как найти компоненты этого тензора?

(2)

Какого типа тензор в $\mathcal{L}_{n}$ определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора?

Задача 35.7

(1)(2)

Линейные функции $f, g$ имеют в базисе $e$ пространства $\mathcal{L}_{n}$ коэффициенты $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$ соответственно. Показать, что функции:

?

(1)

$\mathrm{f}^{2}$

(2)

$\mathrm{fg}$

определяют тензоры в $\mathcal{L}_{n}$ , указать их титы и выписать для каждого компоненты в базисе е.

Задача 35.8

(1)(2)

Линейные функции $\mathrm{f}, \mathrm{g}$ имеют в базисе $e$ пространства $\mathcal{L}_{n}$ коэффициенты $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$ соответственно. Сопоставим каждой паре векторов $x, y$ из $\mathcal{L}_{n}$ число:

?

(1)

$\mathrm{f}(x) \mathrm{g}(y)$

(2)

$\mathrm{f}(x) \mathrm{f}(y)$ .

Показать, что каждая из полученных функций определяет тензор в $\mathcal{L}_{n}$ , указать его тип и выписать компоненты в базисе $\mathbf{e}$ .

Задача 35.9

(1)(2)

Каждой паре векторов $x, y$ линейного пространства $\mathcal{L}_{n}(n \geqslant 3)$ сопоставлено число $\mathrm{f}(x, y)$ , определяемое через компоненты $\xi^{1}, \ldots , \xi^{n}$ и $\eta^{1}, \ldots , \eta^{n}$ этих векторов, заданные в базисе $\mathbf{e}$ , одной из следующих формул:

?

(1)

$\mathrm{f}(x, y) = \xi^{1} \eta^{3}$

(2)

$\mathrm{f}(x, y) = \sum_{1}^{n} \xi^{i} \eta^{i}$ .

Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе $\mathbf{e}$ .

Задача 35.10

(1)(2)(3)(4)

Функция f: $\mathcal{L}_{n} \rightarrow \mathbb {R}(n \geqslant 2)$ определяется через компоненты $\xi^{1}, \ldots , \xi^{n}$ вектора $x$ , заданные в базисе $\mathbf{e}$ одной из формул:

?

(1)

$f(x) = \xi^{1} + \xi^{2}$

(2)

$f(x) = \left(\xi^{1}\right)^{2} + 2\xi^{1} \xi^{2}$

(3)

$f(x) = \left(\xi^{1} + \ldots + \xi^{n}\right)^{2}$

(4)

$f(x) = \sum_{1}^{n}\left(\xi^{i}\right)^{2}$ .

Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе $\mathbf{e}$ .

Задача 35.11

Пусть $\mathcal{L}_{n}^{ * }$ — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве $\mathcal{L}_{n}$ , а $\varphi : \mathcal{L}_{n}^{ * } \rightarrow \mathbb {R}$ — линейная функция на $\mathcal{L}_{n}^{ * }$ . Показать, что $\varphi$ определяет тензор типа $(1, 0)$ на $\mathcal{L}_{n}$ .

?

Задача 35.12

(1)(2)(3)(4)

Даны тензоры $a_{ij}, a_{j}^{i}, \xi^{i}, \eta^{i}, b_{i}$ . Величины $c, d, g, h$ определены в каждом базисе формулами:

?

(1)

$c = a_{ij} \xi^{i} \eta^{j}$

(2)

$d = a_{ij} \xi^{i} \xi^{j}$

(3)

$g = a_{j}^{i} b_{i} \xi^{j}$

(4)

$h = b_{i} \xi^{i}$ .

Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать непосредственно, что эти величины являются инвариантами.

Задача 35.13

Даны тензоры $a_{j}^{i}, \xi^{i}, b_{i}$ . Величины $c^{i}, d_{i}$ определены в каждом базисе формулами $c^{i} = a_{j}^{i} \xi^{j}$ и $d_{i} = a_{i}^{j} b_{j}$ соответственно. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать, что $c^{i}$ есть вектор, а $d_{i}$ — ковектор.

?

Задача 35.14

Тензор типа $(1, 1)$ имеет в некотором базисе компоненты

\delta _{j}^{i} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i = j \\ 0, & \text{ если } i \neq j \end{cases}

Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор?

?

Задача 35.15

Тензор типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе компоненты

\delta _{ij} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i = j \\ 0, & \text{ если } i \neq j \end{cases}

Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису? Какая билинейная функция соответствует этому тензору?

?

Задача 35.16

Тензор типа $(1, 0)$ имеет в некотором базисе компоненты

\theta ^{i} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i = i_{0} \\ 0, & \text{ если } i \neq i_{0} \end{cases}

( $i_{0}$ — фиксированное целое число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$ ). Найти компоненты данного тензора в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ .

?

Задача 35.17

Тензор типа $(0, 1)$ имеет в некотором базисе компоненты

\theta _{i} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i = i_{0} \\ 0, & \text{ если } i \neq i_{0} \end{cases}

( $i_{0}$ — фиксированное целое число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$ ). Найти компоненты этого тензора в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ .

?

Задача 35.18

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}(n > 2)$ сопоставлены числа

\delta _{kl}^{ij} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i = k \neq j = l \\ - 1, & \text{ если } i = l \neq j = k; \\ 0 & \text{ в остальных случаях. } \end{cases}

Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при $n = 3$ ?

?

Задача 35.19

(1)(2)

Тензор $\theta$ типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе $e$ линейного пространства $\mathcal{L}_{n}(n > 2)$ компоненты $\theta_{kl} = \delta_{kl}^{i_{0} j_{0}}$ ( $i_{0}, j_{0}$ — фиксированные целые числа, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n, 1 \leqslant j_{0} \leqslant n$ , символ $\delta_{kl}^{i_{0} j_{0}}$ определен в задаче 35. 18).

?

(1)

Выписать явно все компоненты тензора $\theta$ в базисе $e$ при $n = 3$ .

(2)

Найти компоненты тензора $\theta$ в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ .

Задача 35.20

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ $(n > k \geqslant 1)$ сопоставлены числа:

\delta _{j_1 \ldots j_k}^{i_1 \ldots i_k} = \begin{cases} 1, & \text{если } (i_1, \ldots , i_k) \text{ — четная перестановка попарно различных чисел } j_1, \ldots , j_k; \\ -1, & \text{если } (i_1, \ldots , i_k) \text{ — нечетная перестановка попарно различных чисел } j_1, \ldots , j_k; \\ 0, & \text{в остальных случаях}. \end{cases}

Будет ли такое соответствие тензором?

?

Задача 35.21

(1)(2)

?

(1)

Тензор типа $(0, n)$ имеет в некотором базисе компоненты $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}} = \begin{cases} (- 1)^{N\left(i_{1} \ldots i_{n}\right)}, & \text{ если все числа } i_{1}, \ldots , i_{k} \text{ различны; } \\ 0 & \text{ в остальных случаях } \end{cases}$ ( $N(i_{1} \ldots i_{n})$ — число нарушений порядка в перестановке $\left(i_{1}, \ldots , i_{n}\right)$ ). Вычислить компоненты данного тензора в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ .

(2)

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ сопоставлены числа $\varepsilon_{i_{1}}, \ldots , i_{n}$ . Будет ли это соответствие тензором типа $(0, n)$ ?

Задача 35.22

В четырехмерном пространстве дан трехвалентный тензор. Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом?

?

Задача 35.23

(1)(2)(3)

В пространстве $\mathcal{L}_{2}$ дан тензор типа:

?

(1)

$(1, 1)$

(2)

$(2, 0)$

(3)

$(1, 2)$

В развернутой форме, не используя сокращенных обозначений суммирования, написать закон преобразования его компонент.

Задача 35.24

(1)(2)(3)

В двумерном пространстве задан тензор типа $(p, q)$ . Упорядочим его компоненты так, чтобы они составили столбец а высоты $2^{p + q}$ . Записать закон преобразования компонент тензора в виде $\mathbf{a}^{\prime } = V\mathbf{a}$ , где $V$ — квадратная матрица порядка $2^{p + q}$ и:

?

(1)

$p = 1, q = 1$

(2)

$p = 2, q = 0$

(3)

$p = 1, q = 2$ .

Задача 35.25

(1)(2)(3)

Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа:

?

(1)

$(0, 2)$

(2)

$(1, 1)$

(3)

$(2, 0)$

Задача 35.26

(1)(2)(3)

Компоненты двухвалентного тензора типа $(p, q)$ образуют в произвольном базисе $e$ линейного пространства $\mathcal{L}_{n}$ матрицу $A_{e}$ . Сопоставим базису $e$ матрицу $A_{e}^{ - 1}$ . Доказать, что это соответствие определяет тензор, и указать его тип, если:

?

(1)

$p = 0, q = 2$

(2)

$p = 1, q = 1$ (объяснить геометрический смысл полученного тензора)

(3)

$p = 2, q = 0$ .

Задача 35.27

Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные? Четырехмерные? $k$ -мерные матрицы компонент?

?

Задача 35.28

Трехмерная матрица $\left\| a_{ijk}\right\|$ второго порядка имеет сечение $k = 1$ , состоящее из единиц, а сечение $k = 2$ — из нулей. Выписать $a_{ijk}$ для всевозможных значений индексов.

?

Задача 35.29

Трехмерная матрица $\left\| a_{ijk}\right\|$ третьего порядка имеет сечения $k = 1$ и $k = 2$ , состоящие из единиц, а сечение $k = 3$ — из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствуюшие $i = 1, i = 2, i = 3$ .

?

Задача 35.30

(1)(2)(3)

?

(1)

Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение?

(2)

Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка?

(3)

Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка?

Задача 35.31

(1)(2)

Числа $\delta_{kl}^{ij}$ образуют четырехмерную матрицу второго порядка.

?

(1)

Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам.

(2)

Найти связь между сечениями матрицы $\left\| \delta_{kl}^{ij}\right\|$ и матрицей $\left\| \theta_{kl}\right\|$ (символы $\delta_{kl}^{ij}, \theta_{kl}$ определены в задачах $35. 18, 35. 19$ соответственно).

Задача 35.32

(1)(2)

?

(1)

Даны базис $e$ и $(p + q)$ -мерная матрица $A$ . Доказать, что существует тензор типа $(p, q)$ , имеющий в базисе $\mathbf{e}$ матрицу $A$ .

(2)

Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа.

Задача 35.33

(1)(2)(3)

Пусть $\mathrm{f}$ — вещщественная функция от трех аргументов $x\in \mathcal{L}_{n}, y\in \mathcal{L}_{n}, z\in \mathcal{L}_{n}$ , линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных.

?

(1)

Выразить значение данной функции через компоненты векторов $x, y, z$ .

(2)

Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа $(0, 3)$ .

(3)

Выразить компоненты этого тензора через значения $f$ на базисных векторах.

Задача 35.34

(1)(2)(3)

Линейные функции $\mathrm{f}, \mathrm{g}, \mathrm{h}$ на $\mathcal{L}_{3}$ имеют в базисе $\mathbf{e}$ коэффициенты $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}; \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}; \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ соответственно. Сопоставим тройке векторов $x, y, z$ из $\mathcal{L}_{3}$ число:

?

(1)

$\mathrm{f}(x) \mathrm{g}(y) \mathrm{h}(z)$

(2)

$\mathrm{f}(x) \mathrm{f}(y) \mathrm{f}(z)$

(3)

$\mathrm{f}(x) \mathrm{f}(y) \mathrm{f}(z) + \mathrm{g}(x) \mathrm{g}(y) \mathrm{g}(z) + \mathrm{h}(x) \mathrm{h}(y) \mathrm{h}(z)$ .

Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в $\mathcal{L}_{3}$ , указать его тип и выписать матрицу в базисе $\mathbf{e}$ .

Задача 35.35

(1)(2)

Каждой тройке векторов пространства $\mathcal{L}_{3}$ сопоставлено число $\mathrm{f}(x, y, z)$ , определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе — $\xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3}; \eta^{2}, \eta^{2}, \eta^{3}; \zeta^{1}, \zeta^{2}, \zeta^{3}$ — одной из следующих формул:

?

(1)

$\mathrm{f}(x, y, z) = \xi^{1} \eta^{2} \zeta^{3} + \xi^{3} \eta^{2} \zeta^{1}$

(2)

$\mathrm{f}(x, y, z) = \sum_{i = 1}^{3} \xi^{i} \eta^{i} \zeta^{i}$

Указать тип соответствующего тензора и выписать его матрицу.

Задача 35.36

Пусть $\mathcal{B}$ — линейное пространство билинейных функций на $\mathcal{L}_{n}$ , а $\varphi : \mathcal{L}_{n} \rightarrow \mathcal{B}$ — линейное отображение. Показать, что $\varphi$ определяет тензор типа $(0, 3)$ в пространстве $\mathcal{L}_{n}$ .

?

Задача 35.37

(1)(2)(3)

Тензор типа $(p, q)$ в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ пространства $\mathcal{L}_{3}$ задан матрицей $A$ . Найти его матрицу в базисе $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }, e_{3}^{\prime }$ , если:

?

(1)

$p = 2, q = 1, A = \mathbf{A}_{726}, e_{1}^{\prime } = e_{1}, e_{2}^{\prime } = e_{3}, e_{3}^{\prime } = e_{2}$ . $\mathbf{A}_{726} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 9 & 8 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 9 \\ 6 & 5 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 8 & 7 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$p = 2, \quad q = 1, \quad A = \mathbf{A}_{727}, \quad e_{1}^{\prime } = - e_{1}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{2}, \quad e_{3}^{\prime } = - e_{3}$ . $\mathbf{A}_{727} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 9 & 7 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 9 & 8 \\ 3 & 1 & 2 \\ 8 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 6 & 4 & 5 \\ 1 & 9 & 5 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$p = 0, \quad q = 3, \quad A = \mathbf{A}_{723}, \quad e_{1}^{\prime } = 2e_{1}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{2}, \quad e_{3}^{\prime } = 3e_{3}$ . $\mathbf{A}_{723} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 35.38

Определить, как изменяются компоненты тензора типа $(1, 2)$ , заданного в пространстве $\mathcal{L}_{n}$ , при произвольной перестановке базисных векторов.

?

Задача 35.39

(1)(2)(3)(4)

Тензор типа $(p, q)$ в базисе $e$ пространства $\mathcal{L}_{2}$ задан матрицей $A$ . Найти его матрицу в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ , если:

?

(1)

$p = 1, q = 2, A = \mathbf{A}_{652}, S = \mathbf{A}_{24}$ . $\mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$p = 0, q = 3, A = \mathbf{A}_{654}, S = \mathbf{A}_{19}$ . $\mathbf{A}_{654} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$p = 0, q = 3, A = \mathbf{A}_{654}, S = \mathbf{A}_{24}$ . $\mathbf{A}_{654} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$p = 2, q = 1, A = \mathbf{A}_{654}, S = \mathbf{A}_{24}$ . $\mathbf{A}_{654} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы