32.1

Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1-32.26)

[26/65%]
Показать
LaTeX
Задача 32.1

Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в nn-мерном линейном пространстве:

?
(1)

x1y1(n=1)x_{1} y_{1} \quad (n = 1),

(2)

x1y1(n=2)x_{1} y_{1} \quad (n = 2)

(3)

2x1y1−x1y2−x2y1−5x2y2(n=2)2x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} - 5x_{2} y_{2} \quad (n = 2)

(4)

x1y2−3x1y3+7x2y3+x2y1−3x3y1+7x3y2+x3y3(n=3)x_{1} y_{2} - 3x_{1} y_{3} + 7x_{2} y_{3} + x_{2} y_{1} - 3x_{3} y_{1} + 7x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3} \quad (n = 3)

(5)

∑i=1nxiyi\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

(6)

∑i=1nxiyn−i+1\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{n - i + 1}

(7)

∑∣i−j∣⩽1xiyj\sum_{\left|i - j\right| \leqslant 1} x_{i} y_{j}

Задача 32.2

Восстановить симметричную билинейную форму в nn мерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу:

?
(1)

−3x12(n=1)- 3x_{1}^{2} \quad (n = 1)

(2)

−18x1x2+9x22(n=2)- 18x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} \quad (n = 2)

(3)

x12+4x1x2+4x1x3+5x22+12x2x3+7x32(n=3)x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 5x_{2}^{2} + 12x_{2} x_{3} + 7x_{3}^{2} \quad (n = 3)

(4)

2x12−6x1x2−3x22(n=3)2x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} \quad (n = 3)

(5)

∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}

Задача 32.3

Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу:

?
(1)

A47\mathbf{A}_{47}. A47=[5−2−28]\mathbf{A}_{47} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A37\mathbf{A}_{37}. A37=[−455−4]\mathbf{A}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A307\mathbf{A}_{307}. A307=[4242−30404]\mathbf{A}_{307} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A280\mathbf{A}_{280}. A280=[021282120]\mathbf{A}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A484\mathbf{A}_{484}. A484=[111111−1−11−11−11−1−11]\mathbf{A}_{484} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A471\mathbf{A}_{471}. A471=[2−100−12−1−10−1200−102]\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A593\mathbf{A}_{593}. A593=[20−1000020−100−102−1000−1−12−10000−12−10000−12]\mathbf{A}_{593} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A634\mathbf{A}_{634}. A634=[0100…001010…000101…00………………0000…010000…10]\mathbf{A}_{634} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 32.4
?
(1)

Восстановить симметричную билинейную функцию по порожденной ей квадратичной функции.

(2)

Доказать, что любую билинейную функцию b(x,y)\mathrm{b}(x, y) можно единственным образом представить как сумму b(x,y)=b+(x,y)+b−(x,y)\mathrm{b}(x, y) = \mathrm{b}_{ + }(x, y) + \mathrm{b}_{ - }(x, y), где b+(x,y)=b+(y,x),ab−(x,y)=−b−(y,x)\mathrm{b}_{ + }(x, y) = \mathrm{b}_{ + }(y, x), \mathrm{a} \mathrm{b}_{ - }(x, y) = - \mathrm{b}_{ - }(y, x). Доказать, что при этом b(x,x)=b+(x,x)\mathrm{b}(x, x) = \mathrm{b}_{ + }(x, x).

Задача 32.5

Как изменится матрица билинейной (квадратичной) функции, если изменить базис e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} следующим образом:

?
(1)

поменять местами ii — й и jj — й векторы базиса

(2)

умножить ii — й базисный вектор на число λ≠0\lambda \neq 0

(3)

вектор eie_{i} заменить на ei+λej(i≠j)e_{i} + \lambda e_{j}(i \neq j)

(4)

векторы базиса расположить в обратном порядке?

Задача 32.6

Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали?

?
Задача 32.7

Квадратичная функция дана в базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n}. Записать эту квадратичную функцию в базисе e1′,…,en′e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }:

?
(1)

25x12−14x1x2+2x22,e1′=e1+e2,e2′=−e1+e225x_{1}^{2} - 14x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{1} + e_{2}

(2)

3x12+10x1x2+9x22,e1′=2e1−e2,e2′=e1−e23x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = 2e_{1} - e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = e_{1} - e_{2}

(3)

4x12−12x1x2+9x22,e1′=14e1−16e2,e2′=14e1+16e24x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = \frac{1}{4} e_{1} - \frac{1}{6} e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = \frac{1}{4} e_{1} + \frac{1}{6} e_{2}

(4)

x12+4x1x2+4x1x3−x32,e1′=e1+e2+e3,e2′=2e1−−e2+e3,e3′=−e1+2e2−3e3x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} - x_{3}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2} + e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = 2e_{1} - - e_{2} + e_{3}, \quad e_{3}^{\prime } = - e_{1} + 2e_{2} - 3e_{3}

(5)

x12+2x1x2−x1x3−x22+2x2x3+x32,e1′=2e1−e3,e2′=−e1+2e2−e3,e3′=−e2+e3x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = 2e_{1} - e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{1} + 2e_{2} - e_{3}, \quad e_{3}^{\prime } = - e_{2} + e_{3}

(6)

5x12+5x22+3x32+2x1x2+22x1x3+22x2x3,e1′=e1+e2−22e3,e2′=e1−e2,e3′=2e1+2e2+e35x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2\sqrt{2} x_{1} x_{3} + 2\sqrt{2} x_{2} x_{3}, e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2} - 2\sqrt{2} e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = e_{1} - e_{2}, \quad e_{3}^{\prime } = \sqrt{2} e_{1} + \sqrt{2} e_{2} + e_{3}

(7)

∑i=1n−1xixi+1,ei′=ei+ei+1+…+en,i=1,2,…,n\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}, \quad e_{i}^{\prime } = e_{i} + e_{i + 1} + \ldots + e_{n}, \quad i = 1, 2, \ldots , n.

Задача 32.8

Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы:

?
(1)

4x12+4x1x2+5x224x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(2)

x12−x1x2−x22x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

−x1x2- x_{1} x_{2}

(4)

25x12+30x1x2+9x2225x_{1}^{2} + 30x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}

(5)

2x1x2−x12−2x222x_{1} x_{2} - x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2}

(6)

24x1x2−16x12−9x2224x_{1} x_{2} - 16x_{1}^{2} - 9x_{2}^{2}

(7)

x12+4x1x3+x22+2x2x3+4x32x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}

(8)

x12+2x1x2+2x1x3−3x22−6x2x3−4x32x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} - 3x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} - 4x_{3}^{2}

(9)

2x12+8x1x2+4x1x3+9x22+19x322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 9x_{2}^{2} + 19x_{3}^{2}

(10)

9x12−12x1x2−6x1x3+4x22+4x2x3+x329x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 6x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(11)

8x12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x38x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(12)

(р) x1x2+x2x3+x1x3x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}

(13)

x12+2x22+2x32+3x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 3x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{3} x_{4}

(14)

x12−2x1x3+x22−2x2x4+x32−2x3x5+x42−2x4x6+x52+x62x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{5} + x_{4}^{2} - 2x_{4} x_{6} + x_{5}^{2} + x_{6}^{2}

(15)

x1x2+2x2x3−3x3x4x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} - 3x_{3} x_{4}

(16)

x1x2+x2x3−x12−x22−x32x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}.

Задача 32.9

Выяснить, какие квадратичные формы из задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными:

?
(1)

4x12+4x1x2+5x224x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(2)

x12−x1x2−x22x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

−x1x2- x_{1} x_{2}

(4)

25x12+30x1x2+9x2225x_{1}^{2} + 30x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}

(5)

2x1x2−x12−2x222x_{1} x_{2} - x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2}

(6)

24x1x2−16x12−9x2224x_{1} x_{2} - 16x_{1}^{2} - 9x_{2}^{2}

(7)

x12+4x1x3+x22+2x2x3+4x32x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}

(8)

x12+2x1x2+2x1x3−3x22−6x2x3−4x32x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} - 3x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} - 4x_{3}^{2}

(9)

2x12+8x1x2+4x1x3+9x22+19x322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 9x_{2}^{2} + 19x_{3}^{2}

(10)

9x12−12x1x2−6x1x3+4x22+4x2x3+x329x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 6x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(11)

8x12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x38x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(12)

(р) x1x2+x2x3+x1x3x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}

(13)

x12+2x22+2x32+3x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 3x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{3} x_{4}

(14)

x12−2x1x3+x22−2x2x4+x32−2x3x5+x42−2x4x6+x52+x62x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{5} + x_{4}^{2} - 2x_{4} x_{6} + x_{5}^{2} + x_{6}^{2}

(15)

x1x2+2x2x3−3x3x4x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} - 3x_{3} x_{4}

(16)

x1x2+x2x3−x12−x22−x32x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}.

Задача 32.10

Привести к каноническому виду данную билинейную форму:

?
(1)

x1y1+x1y2+x2y1+3x2y2x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 3x_{2} y_{2}

(2)

x1y1−x1y2−x2y1+x2y2x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}

(3)

13x1y1−5x1y2−5x2y1+2x2y213x_{1} y_{1} - 5x_{1} y_{2} - 5x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2}

(4)

−x1y2−x2y1+x2y2- x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}

(5)

x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}

(6)

x1y1+2x2y2+3x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+2x2y3+2x3y2x_{1} y_{1} + 2x_{2} y_{2} + 3x_{3} y_{3} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2}

(7)

x1y1+x1y2+x2y1+x2y3x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{3}.

Задача 32.11

Доказать, что несимметричную билинейную функцию нельзя привести к диагональному виду.

?
Задача 32.12

Привести квадратичную форму, зависящую от действительного параметра λ\lambda, к каноническому виду при всевозможных значениях λ\lambda:

?
(1)

3x12−2x1x2+λx223x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \lambda x_{2}^{2}

(2)

8x12+λx1x2+2x228x_{1}^{2} + \lambda x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(3)

2x12+8x1x2+4x1x3+6x22+λx322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} + \lambda x_{3}^{2}

(4)

x12+x22+4x32+λx42+4x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4+5x3x4x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} + \lambda x_{4}^{2} + 4x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 5x_{3} x_{4}

(5)

3x22+6x1x2+2x1x3+4x2x3+λx2x4+x32+x3x4+x423x_{2}^{2} + 6x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3} + \lambda x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} + x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}.

Задача 32.13

Привести к каноническому виду данную квадратичную форму в nn-мерном пространстве:

?
(1)

x12+2∑i=2nxi2−2∑i=1n−1xixi+1x_{1}^{2} + 2\sum_{i = 2}^{n} x_{i}^{2} - 2\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}

(2)

x12+2∑i=1n−1(−1)ixixi+1x_{1}^{2} + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}(- 1)^{i} x_{i} x_{i + 1}

(3)

∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(4)

∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(5)

−∑i=1nixi2+2∑1⩽i<j⩽nixixj- \sum_{i = 1}^{n} ix_{i}^{2} + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ix_{i} x_{j}

(6)

∑i=1n((i−1)2+1)xi2+2∑1⩽i<j⩽nixixj\sum_{i = 1}^{n}\left((i - 1)^{2} + 1\right) x_{i}^{2} + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ix_{i} x_{j}.

Задача 32.14

Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции k(x)\mathrm{k}(x) необходимо и достаточно любое из условий:

?
(1)

k(ei)>0(i=1,…,n)\mathrm{k}\left(e_{i}\right) > 0(i = 1, \ldots , n) для любого базиса e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n}

(2)

k(x)\mathrm{k}(x) приводится к диагональному виду с положительными коэффициентами

(3)

k(x)\mathrm{k}(x) приводится к каноническому виду ξ12+…+ξn2\xi_{1}^{2} + \ldots + \xi_{n}^{2}.

Задача 32.15

Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положительность всех диагональных элементов ее матрицы в некотором базисе.

?
Задача 32.16

Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом:

Δ1<0,Δ2>0,Δ3<0,…,sign⁡Δn=(−1)n. \Delta _{1} < 0, \Delta _{2} > 0, \Delta _{3} < 0, \ldots , \operatorname {sign} \Delta _{n} = (- 1)^{n}.
?
Задача 32.17

Пусть ранг квадратичной функции k(x)\mathrm{k}(x) в nn-мерном линейном пространстве L\mathcal{L} равен rr. Доказать утверждения:

?
(1)

в L\mathcal{L} существует базис, в котором главные миноры Δk\Delta_{k} матрицы функции k(x)\mathrm{k}(x) отличны от нуля при k=1,…,rk = 1, \ldots , r и равны нулю при k=r+1,…,nk = r + 1, \ldots , n.

(2)

пусть в некотором базисе главные миноры Δk(k=1,…,r)\Delta_{k}(k = 1, \ldots , r) матрицы функции k(x)\mathrm{k}(x) отличны от нуля. Тогда k(x)\mathrm{k}(x) приводится к диагональной форме ∑k=1rΔkΔk−1ξk2(Δ0=1)\sum_{k = 1}^{r} \frac{\Delta_{k}}{\Delta_{k - 1}} \xi_{k}^{2}\left(\Delta_{0} = 1\right) и к канонической форме ∑k=1rεkξk2\sum_{k = 1}^{r} \varepsilon_{k} \xi_{k}^{2}, где εk=sign⁡ΔkΔk−1(k=1,…,r)\varepsilon_{k} = \operatorname {sign} \frac{\Delta_{k}}{\Delta_{k - 1}}(k = 1, \ldots , r).

Задача 32.18

При каких значениях параметра λ\lambda данная квадратичная форма положительно, отрицательно определена или полуопределена:

?
(1)

λx12−4x1x2+(λ+3)x22\lambda x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + (\lambda + 3) x_{2}^{2}

(2)

−9x12+6λx1x2−x22- 9x_{1}^{2} + 6\lambda x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

λx12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x3\lambda x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(4)

x12+2λx1x2+2x1x3+4x22−λx32+2x2x3x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} - \lambda x_{3}^{2} + 2x_{2} x_{3}

(5)

(4−λ)x12+(4−λ)x22−(2+λ)x32+4x1x2−8x1x3+8x2x3(4 - \lambda ) x_{1}^{2} + (4 - \lambda ) x_{2}^{2} - (2 + \lambda ) x_{3}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} + 8x_{2} x_{3}?

Задача 32.19

Пусть k(x)\mathrm{k}(x) — квадратичная функция в линейном пространстве L\mathcal{L}. Является ли линейным подпространством в L\mathcal{L} множество всех векторов xx из L\mathcal{L}, для которых k(x)⩾0(k(x)⩽0)\mathrm{k}(x) \geqslant 0(\mathrm{k}(x) \leqslant 0)? Рассмотреть примеры k(x)=x12+x22−x32(n=3)\mathrm{k}(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2}(n = 3) и h(x)=x12+x22(n=3)\mathrm{h}(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}(n = 3).

?
Задача 32.20
?
(1)

В матрице положительно определенной квадратичной формы увеличили один диагональный элемент. Доказать, что детерминант матрицы увеличился.

(2)

Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулю элемент положителен.

Задача 32.21
?
(1)

Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка nn функция k(X)=tr⁡(XTX)\mathrm{k}(X) = \operatorname {tr}\left(X^{T} X\right) является положительно определенной квадратичной функцией.

(2)

Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка nn функция k(X)=tr⁡(X2)\mathrm{k}(X) = \operatorname {tr}\left(X^{2}\right) является квадратичной функщией. Найти ее ранг и сигнатуру.

Задача 32.22

Доказать, что функция

I(f,g)=∫−11f(t)g(t)dt I(f, g) = \int _{ - 1}^{1} f(t) g(t) dt

является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выше nn. Привести ее к каноническому виду при n=3n = 3.

?
Задача 32.23

Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция — произведение двух ненулевых линейных функций.

?
Задача 32.24

Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю.

?
Задача 32.25

При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции k(x)\mathrm{k}(x) и −k(x)- \mathrm{k}(x) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду?

?
Задача 32.26
?
(1)

Пусть b(x,y)\mathrm{b}(x, y) — билинейная функция в линейном пространстве L\mathcal{L}. Назовем функцию b(x,y)\mathrm{b}(x, y) инвариантной относительно линейного преобразования φ\varphi пространства L\mathcal{L}, если b(φ(x),φ(y))=b(x,y)\mathrm{b}(\varphi (x), \varphi (y)) = \mathrm{b}(x, y) для всех x,y∈Lx, y\in \mathcal{L}. Доказать, что b\mathrm{b} тогда и только тогда инвариантна относительно φ\varphi, когда их матрицы (BB и AA соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству ATBA=BA^{T} BA = B.

(2)

Найти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма:

(1) x1y1+x2y2x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}

(2) x1y1−x2y2x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}