Определение линейной функции. Примеры линейных функций (31.1-31.32)

Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений?

Как преобразуется строка коэффициентов линейной функции при изменении базиса?

Как выражаются через базисные векторы коэффициенты линейной функции в базисе $\mathbf{e}$?

Выпишите строку коэффициентов нулевой линейной функции.

Может ли для линейной функции $\mathrm{f}$, заданной на $\mathcal{L}_{n}$, при всех $x\in \mathcal{L}_{n}$ выполняться:

Даны линейная функция $\mathrm{f}$ на $\mathcal{L}_{n}$ и число $\alpha$. Всегда ли найдется такой вектор $x$ из $\mathcal{L}_{n}$, что $\mathrm{f}(x) = \alpha$?

Определить множество значений произвольной линейной функции на вещественном линейном пространстве.

Пусть $\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)^{T}$ — координатный столбец вектора $x\in \mathcal{L}_{3}$ в некотором базисе. Будет ли линейной функция $\mathrm{f}$ на $\mathcal{L}_{3}$, определенная равенством:

Выписать строку коэффициентов функции $\mathrm{f}$ в случаях 1, 4 задачи 31. 8.

В некотором базисе пространства $\mathcal{L}_{3}$ функции $\mathrm{f}$ и $\mathrm{g}$ имеют координатные строки соответственно $(1, 2, 3)$ и $(3, 2, 1)$. Найти координатные строки функций:

Функция $\operatorname {tr} X$ сопоставляет каждой квадратной матрице $X$ порядка $n$ ее след. Проверить, что эта функция является линейной, и найти ее координатную строку (координатную матрицу) в стандартном базисе пространства матриц.

Пусть $C$ — квадратная матрица порядка $n$. Сопоставим каждой квадратной матрице $X$ порядка $n$ число $\operatorname {tr}\left(C^{T} X\right)$. Показать, что этим определена линейная функция на пространстве $\mathcal{R}_{n \times n}$, и найти ее координатную строку (координатную матрицу).

Пусть f — какая — нибудь линейная функция, определенная на пространстве $\mathcal{R}_{n \times n}$. Доказать, что существует такая квадратная матрица $C$, что для произвольной матрицы $X\in \mathcal{R}_{n \times n}$ выполнено равенство $\mathrm{f}(X) = \operatorname {tr}\left(C^{T} X\right)$.

Пусть линейная функция $\mathrm{f}$ на пространстве $\mathcal{R}_{n \times n}$ для любых двух квадратных матриц $A$ и $B$ порядка $n$ удовлетворяет условию $\mathrm{f}(AB) = \mathrm{f}(BA)$. Доказать, что $\mathrm{f}$ определяется равенством $\mathrm{f}(X) = \alpha \operatorname {tr} X$.

Сопоставим каждому многочлену $p(t)$ степени $\leqslant n$ его значение при $t = 0$. Доказать, что этим определена линейная функция на $\mathcal{P}^{(n)}$, и вычислить ее координатную строку в базисе $1, t, t^{2}, \ldots , t^{n}$.

Пусть $t_{0}$ — фиксированное число. Сопоставим каждому многочлену $p(t)$ степени $\leqslant n$ его значение при $t = t_{0}$. Доказать, что этим определена линейная функция $\varphi$ на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$. Вычислить координатную строку функции $\varphi$ в базисах

Пусть $t_{1}, \ldots , t_{n + 1}$ — попарно различные точки числовой оси, $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n + 1}$ — соответствующие этим точкам линейные функции на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$, определенные в задаче 31. 21.

Линейная функция $\delta$ сопоставляет каждому многочлену $p(t)$ степени $n\quad (n \leqslant 2)$ его свободный член. Разложить эту функцию в линейную комбинацию функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$, сопоставляющих каждому многочлену его значение соответственно при $t = 1, t = 2$ и $t = 3$.

Пусть $t_{0}$ — какое — нибудь, а $t_{1}, \ldots , t_{n + 1}$ — попарно различные вещественные числа. Доказать, что найдутся такие числа $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n + 1}$, что для любого многочлена $p(t) \in \mathcal{P}^{(n)}$ будет выполнено равенство $p\left(t_{0}\right) = \lambda_{1} p\left(t_{1}\right) + \ldots + \lambda_{n + 1} p\left(t_{n + 1}\right)$.

Пусть $k$ — натуральное число. Сопоставим каждому многочлену $p(t)$ степени $\leqslant n$ значение его $k$ — й производной при $t = 0$. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$, и вычислить ее координатную строку в базисе $1, t, t^{2}, \ldots , t^{n}$.

Пусть $k$ — натуральное число, $k \leqslant n, t_{0}$ — вещественное число. Сопоставим каждому многочлену $p(t)$ степени не выше $n$ значение его $k$ — й производной при $t = t_{0}$. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$. Вычислить ее координатную строку в базисах:

Линейные функции $\delta_{0}, \delta_{1}, \ldots , \delta_{n}$ определены на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$ равенствами

Доказать, что функции $\delta_{0}, \delta_{1}, \ldots , \delta_{n}$ линейно независимы.

Функции $\delta_{0}, \delta_{1}, \ldots , \delta_{n}$ определены так же, как в задаче 31. 27. Доказать, что произвольная линейная функция, заданная на пространстве $\mathcal{P}^{(n)}$, может быть разложена в линейную комбинацию функций $\delta_{k}(k = 0, 1, \ldots , n)$.

Пусть в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ линейная функция $f$ выражается через координаты $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ вектора $x$ формулой $\mathrm{f}(x) = \xi_{1} + 2\xi_{2} + 3\xi_{3}$. Какой формулой выражается $\mathrm{f}(x)$ через координаты $x$ в базисе $e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2}, e_{2}^{\prime } = e_{2} + e_{3}, e_{3}^{\prime } = e_{3} + e_{1}$?

Доказать, что всякую ненулевую линейную функцию $\mathrm{f}$ на $\mathcal{L}_{n}$ подходящим выбором базиса в $\mathcal{L}_{n}$ можно привести к виду $\mathrm{f}(x) = \xi_{1}$, где $\xi_{1}$ — первая координата вектора $x$.

В базисе $e$ линейная функция $\mathrm{f}$ имеет строку коэффициентов $\varkappa$. Найти ее строку коэффициентов $x^{\prime }$ в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$, если:

Функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$, определенные в задаче 31. 23, а также функции $\delta_{0}, \delta_{1}, \delta_{2}$, определенные с помощью формул

образуют пару базисов в пространстве $\mathcal{P}^{(2) * }$. Выписать формулы перехода от первого базиса ко второму.