Нормальные преобразования (30.13-30.24)

Найти условие на матрицу преобразования $\varphi$ в ортонормированном базисе, необходимое и достаточное для того, чтобы $\varphi$ было нормальным.

Для нормального преобразования $\varphi$ пространства $\mathcal{U}$ доказать, что:

Доказать, что преобразование $\varphi$ нормально тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор для $\varphi$ является собственным и для $\varphi^{ * }$.

Пусть $\mathcal{L}$ — собственное подпространство нормального преобразования $\varphi$. Доказать, что $\mathcal{L}^{\perp }$ инвариантно относительно $\varphi$.

Пусть $x$ и $y$ — собственные векторы нормального преобразования $\varphi$, принадлежащие различным собственным значениям. Доказать, что $x$ и $y$ ортогональны.

Пусть $\varphi$ — нормальное преобразование унитарного пространства $\mathcal{U}$. Доказать, что

Пусть у преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Доказать, что оно является нормальным.

Доказать, что произведение нормальных преобразований является нормальным, если они перестановочны. Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что преобразование $\varphi$ унитарного пространства является нормальным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подпространства $\mathcal{L}$ подпространство $\mathcal{L}^{\perp }$ также инвариантно.

Нормальное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей $A$. Найти матрицу $S$ перехода к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу $A^{\prime }$ преобразования в этом базисе:

Пусть преобразования $\varphi$ и $\psi$ — нормальные, и $\varphi \psi = o$. Следует ли отсюда, что $\psi \varphi = o$?

Доказать, что: