30.1

Линейные преобразования унитарного пространства. Примеры преобразований. Сопряженное преобразование (30.1-30.12)

[12/67%]
Показать
LaTeX
Задача 30.1

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис в подпространстве L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U}. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе ee пространства U\mathcal{U} составляют матрицу AA. Написать в базисе е:

?
(1)

матрицу PP ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L},

(2)

матрицу QQ отражения в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 30.2

Пусть L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U} линейная оболочка векторов a1a_{1} и a2a_{2}. В ортонормированном базисе ee пространства U\mathcal{U} даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе ee матрицу PP ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L} и матрицу QQ отражения в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

[1i1+i],[i11−i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 + i\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 1-i\end{smallmatrix}\right];

(2)

[ii1],[2i03]\left[\begin{smallmatrix} i \\ i \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right];

(3)

[i11i],[2i03i]\left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 1 \\ i\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 0 \\ 3 \\ i\end{smallmatrix}\right].

Задача 30.3

Дан вектор aa, и подпространство L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U} задано уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Найти образ вектора xx при отражении в L\mathcal{L}, и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора aa в ортонормированном базисе.

?
Задача 30.4

В ортонормированном базисе дан координатньй столбец а вектора aa. Пусть φ\varphi — отражение в подпространстве L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U}, заданном уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Выразить матрицу преобразования φ\varphi через а, если:

?
(1)

a=[3−12i]\mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -1 \\ 2i \end{smallmatrix}\right]

(2)

a=c153\mathbf{a} = \mathbf{c}_{153}. c153=[−i−1−3i]\mathbf{c}_{153} = \left[\begin{smallmatrix} -i \\ -1 \\ -3 i \end{smallmatrix}\right].

(3)

a=c131\mathbf{a} = \mathbf{c}_{131}. c131=[1−i1+i]\mathbf{c}_{131} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right].

(4)

a=c215\mathbf{a} = \mathbf{c}_{215}. c215=[1111−i]\mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.5

Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами:

?
(1)

(φ+ψ)∗=φ∗+ψ∗(\varphi + \psi )^{ * } = \varphi^{ * } + \psi^{ * };

(2)

(φψ)∗=ψ∗φ∗(\varphi \psi )^{ * } = \psi^{ * } \varphi^{ * };

(3)

(αφ)∗=αˉφ∗(\alpha \varphi )^{ * } = \bar{\alpha } \varphi^{ * };

(4)

если φ\varphi имеет обратное, то φ∗\varphi^{ * } также имеет обратное, и (φ∗)−1=(φ−1)∗\left(\varphi^{ * }\right)^{ - 1} = \left(\varphi^{ - 1}\right)^{ * }.

Задача 30.6

В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу сопряженного преобразования:

?
(1)

A88\mathbf{A}_{88}. A88=[1ii1]\mathbf{A}_{88} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A103\mathbf{A}_{103}. A103=[0i−i0]\mathbf{A}_{103} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A100\mathbf{A}_{100}. A100=[12ii−1]\mathbf{A}_{100} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 i \\ i & -1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.7

Пусть AA — матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma. Найти матрицу сопряженного преобразования:

?
(1)

A=A92,Γ=A87A = \mathbf{A}_{92}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}. A92=[i11i],A87=[11+i1−i3]\mathbf{A}_{92} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A97,Γ=A86A = \mathbf{A}_{97}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}. A97=[i1−12i],A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{97} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & 2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A375,Γ=A388A = \mathbf{A}_{375}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{388}. A375=[11+i1−i111−1−ii],A388=[210121011]\mathbf{A}_{375} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i & 1-i \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -i & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{388} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.8
?
(1)

Пусть вектор xx является собственным для преобразования φ\varphi с собственным значением λ\lambda и собственным для φ∗\varphi^{ * } с собственным значением μ\mu. Доказать, что λ=μˉ\lambda = \bar{\mu }.

(2)

Доказать, что преобразование φ∗\varphi^{ * }, сопряженное преобразованию φ\varphi с собственными значениями λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}, имеет собственные значения λ1‾,…,λn‾\overline{\lambda_{1}}, \ldots , \overline{\lambda_{n}}.

Задача 30.9

Пусть подпространство L\mathcal{L} инвариантно относительно преобразования φ\varphi. Доказать, что L⊥\mathcal{L}^{\perp } инвариантно относительно сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 30.10
?
(1)

Доказать, что множество значений линейного преобразования φ\varphi унитарного пространства совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

(2)

Доказать, что теорема Фредгольма для комплексных систем линейных уравнений верна также и в следующей формулировке: система Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} совместна тогда и только тогда, когда каждое решение системы линейных уравнений AˉTy=0\bar{A}^{T} \mathbf{y} = \mathbf{0} удовлетворяет равенству yTbˉ=0\mathbf{y}^{T} \bar{b} = 0.

Задача 30.11
?
(1)

Доказать, что у каждого линейного преобразования унитарного пространства есть (n−1)(n - 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли это утверждение для комплексных линейных пространств?

(2)

Доказать, что для каждого линейного преобразования унитарного пространства найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.

Задача 30.12

В ортонормированном базисе дана матрица AA линейного преобразования φ\varphi. Найти матрицу SS перехода к ортонормированному базису, в котором φ\varphi имеет треугольную матрицу A′A^{\prime }, и написать матрицу A′A^{\prime }:

?
(1)

A=[i1−i001021+i2−i]A =\left[\begin{smallmatrix} i & 1 - i & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 + i & 2 - i\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[−1−1+i−1−i1+i11+i1−i1−i1]A =\left[\begin{smallmatrix} - 1 & - 1 + i & - 1 - i \\ 1 + i & 1 & 1 + i \\ 1 - i & 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[ii−ii1011+i−i]A =\left[\begin{smallmatrix} i & i & - i \\ i & 1 & 0 \\ 1 & 1 + i & - i\end{smallmatrix}\right]