28.2

Сопряженное преобразование (28.10-28.37)

[28/54%]
Показать
LaTeX
Задача 28.10

Пусть для некоторого преобразования φ\varphi евклидова пространства нашлось преобразование φ∗\varphi^{ * } такое, что (φ(x),y)=(x,φ∗(y))(\varphi (x), y) = \left(x, \varphi^{ * }(y)\right) для любых векторов xx и yy. Доказать, что оба преобразования являются линейными.

?
Задача 28.11

Найти преобразование, сопряженное произвольному преобразованию φ\varphi одномерного евклидова пространства.

?
Задача 28.12

Найти преобразование, сопряженное преобразованию из задачи 28. 8.

?
Задача 28.13

Доказать, что два преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их сопряженные преобразования.

?
Задача 28.14

Пусть преобразование φ\varphi нильпотентно. Доказать, что его сопряженное преобразование также нильпотентно с тем же показателем нильпотентности.

?
Задача 28.15

Доказать, что для двух преобразований φ\varphi и ψ\psi произведение φ∗ψ=o\varphi^{ * } \psi = o тогда и только тогда, когда Im⁡φ\operatorname {Im} \varphi ортогонально Im⁡ψ\operatorname {Im} \psi.

?
Задача 28.16

Пусть φ\varphi — поворот плоскости на угол α\alpha. Найти сопряженное преобразование φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.17

Пусть aˉ\bar{a} — фиксированный вектор трехмерного геометрического пространства. Преобразование φ\varphi сопоставляет каждому вектору xˉ\bar{x} векторное произведение [aˉ,xˉ]\left[\bar{a}, \bar{x}\right]. Найти φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.18

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением преобразование φ\varphi переводит векторы a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3} соответственно в векторы b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3}. Найти матрицу сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }:

?
(1)

a1=c99,a2=c52,a3=c51;b1=c110,b2=c89,b3=c64a_{1} = \mathbf{c}_{99}, a_{2} = \mathbf{c}_{52}, a_{3} = \mathbf{c}_{51}; b_{1} = \mathbf{c}_{110}, b_{2} = \mathbf{c}_{89}, b_{3} = \mathbf{c}_{64}. c99=[−111],c52=[1−11],c51=[11−1],c110=[2−11],c89=[12−1],c64=[−112]\mathbf{c}_{99} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{89} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

a1=c142,a2=c66,a3=c144;b1=c83,b2=c139,b3=c104a_{1} = \mathbf{c}_{142}, a_{2} = \mathbf{c}_{66}, \quad a_{3} = \mathbf{c}_{144}; \quad b_{1} = \mathbf{c}_{83}, b_{2} = \mathbf{c}_{139}, b_{3} = \mathbf{c}_{104}. c142=[011],c66=[111],c144=[110],c83=[123],c139=[−2−2−2],c104=[1−23]\mathbf{c}_{142} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{144} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{139} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

a1=c57,a2=c77,a3=c64;b1=c145,b2=c101,b3=c67a_{1} = \mathbf{c}_{57}, a_{2} = \mathbf{c}_{77}, a_{3} = \mathbf{c}_{64}; b_{1} = \mathbf{c}_{145}, b_{2} = \mathbf{c}_{101}, b_{3} = \mathbf{c}_{67}. c57=[100],c77=[0−11],c64=[−112],c145=[20−1],c101=[1−21],c67=[012]\mathbf{c}_{57} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{145} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{101} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{67} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 28.19

Дана матрица AA преобразования φ\varphi в базисе ee c матрицей Грама Γ\Gamma. Найти матрицу сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }:

?
(1)

A=A50,Γ=A19A = \mathbf{A}_{50}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{19}. A50=[0−11−1],A19=[1112]\mathbf{A}_{50} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A16,Γ=A104A = \mathbf{A}_{16}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{104}. A16=[1−111],A104=[5−3−32]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A20,Γ=A104A = \mathbf{A}_{20}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{104}. A20=[0−110],A104=[5−3−32]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A260,Γ=A178A = \mathbf{A}_{260}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{178}. A260=[010001100],A178=[641452121]\mathbf{A}_{260} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{178} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & 4 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A199,Γ=A176A = \mathbf{A}_{199}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{176}. A199=[010000000],A176=[101010102]\mathbf{A}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{176} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A261,Γ=A176A = \mathbf{A}_{261}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{176}. A261=[103212301],A176=[101010102]\mathbf{A}_{261} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{176} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A=A259,Γ=A177A = \mathbf{A}_{259}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{177}. A259=[001100010],A177=[110121012]\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{177} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A=A260,Γ=A179A = \mathbf{A}_{260}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{179}. A260=[010001100],A179=[3−21−22−11−11]\mathbf{A}_{260} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{179} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A=A269,Γ=A388A = \mathbf{A}_{269}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{388}. A269=[023010002],A388=[210121011]\mathbf{A}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{388} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 28.20

В трехмерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти преобразование, сопряженное проектированию на прямую x=2y=3zx = 2y = 3z параллельно плоскости z=0z = 0.

?
Задача 28.21

В пространстве P2\mathcal{P}^{2} многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование δ\delta сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование δ∗\delta^{ * }. Написать матрицу δ∗\delta^{ * }:

?
(1)

в базисе 1,t,t21, t, t^{2},

(2)

в базисе 1,t,(3t2−1)/21, t, \left(3t^{2} - 1\right) / 2.

Задача 28.22

В пространстве P2\mathcal{P}^{2} многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8,325. 8, 3, преобразование δ\delta сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование δ∗\delta^{ * }. Написать матрицу δ∗\delta^{ * }:

?
(1)

в базисе 1,t,t21, t, t^{2},

(2)

в базисе 1,t,(3t2−1)/21, t, \left(3t^{2} - 1\right) / 2.

Задача 28.23

Пусть AA — квадратная матрица порядка nn. Любой квадратной матрице XX того же порядка сопоставляется матрица φ(X)=AX\varphi (X) = AX. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.24

Пусть AA — невырожденная квадратная матрица порядка nn. Любой квадратной матрице XX того же порядка сопо — ставляется матрица φ(X)=A−1XA\varphi (X) = A^{ - 1} XA. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное пгреобразование φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.25

Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному преобразованию в евклидовом пространстве:

?
(1)

(φ+ψ)∗=φ∗+ψ∗(\varphi + \psi )^{ * } = \varphi^{ * } + \psi^{ * }

(2)

(φψ)∗=ψ∗φ∗(\varphi \psi )^{ * } = \psi^{ * } \varphi^{ * }

(3)

(αφ)∗=αφ∗(\alpha \varphi )^{ * } = \alpha \varphi^{ * }

(4)

Если φ\varphi имеет обратное, то φ∗\varphi^{ * } также обратимо, и (φ∗)−1=(φ−1)∗\left(\varphi^{ * }\right)^{ - 1} = \left(\varphi^{ - 1}\right)^{ * }.

Задача 28.26

Доказать, что у сопряженных друг другу преобразований евклидова пространства совпадают:

?
(1)

ранги,

(2)

характеристические многочлены,

(3)

собственные значения,

(4)

размерности собственных подпространств.

Задача 28.27

Пусть преобразование φ\varphi диагонализуемо. Доказать, что φ∗\varphi^{ * } также диагонализуемо.

?
Задача 28.28

Пусть ee — базис из собственных векторов преобразования φ\varphi. Доказать, что его биортогональный базис e∗\mathbf{e}^{ * } состоит из собственных векторов сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.29

Пусть преобразование φ\varphi в базисе ee имеет матрицу AA. Доказать, что φ∗\varphi^{ * } в биортогональном базисе e∗\mathbf{e}^{ * } имеет матрицу ATA^{T}.

?
Задача 28.30
?
(1)

Доказать, что множество значений линейного преобразования φ\varphi совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

(2)

Убедиться, что утверждение 1) равносильно теореме Фредгольма для систем линейных уравнений.

Задача 28.31

Найти множество значений преобразования δ∗\delta^{ * } из задачи 28. 21 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением ядра φ\varphi.

?
Задача 28.32

Найти ядро преобразования φ\varphi из задачи 28. 17 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением множества значений φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 28.33
?
(1)

Пусть λ1\lambda_{1} и λ2\lambda_{2} — различные собственные значения преобразования φ\varphi евклидова пространства. Доказать, что Ker⁡(φ−λ1ι)⊆Im⁡(φ−λ2ι)\operatorname {Ker}\left(\varphi - \lambda_{1} \iota \right) \subseteq \operatorname {Im}\left(\varphi - \lambda_{2} \iota \right)

(2)

Верно ли такое утверждение для преобразования линейного пространства?

Задача 28.34
?
(1)

Пусть подпространство L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E} инвариантно относительно преобразования φ\varphi. Доказать, что L⊥\mathcal{L}^{\perp } инвариантно относительно φ∗\varphi^{ * }.

(2)

Пусть преобразование φ\varphi имеет вещественное характеристическое число. Доказать, что у него есть (n−1)(n - 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли обратное утверждение?

(3)

Пусть все корни характеристического многочлена преобразования φ\varphi вещественны. Доказать, что найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.

Задача 28.35

Преобразование φ\varphi задано в ортонормированном базисе матрицей AA. Найти ортонормированный базис, в котором его матрица A′A^{\prime } верхняя треугольная, и написать матрицу A′A^{\prime }:

?
(1)

A=[31−1022−1−11]A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=A221A = \mathbf{A}_{221}. A221=[41−125−244−1]\mathbf{A}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A292A = \mathbf{A}_{292}. A292=[1−2−1−11110−1]\mathbf{A}_{292} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A290A = \mathbf{A}_{290}. A290=[21−33−2−311−2]\mathbf{A}_{290} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A261A = \mathbf{A}_{261}. A261=[103212301]\mathbf{A}_{261} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 28.36

Пусть φ\varphi — линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что корневые подпространства φ\varphi и φ∗\varphi^{ * }, принадлежащие неравным собственным значениям, ортогональны.

?
Задача 28.37

Пусть φ\varphi — линейное преобразование евклидова пространства. Как связаны жордановы формы преобразований φ\varphi и φ∗\varphi^{ * }?

?