Ортогональные матрицы (25.45-25.58)

$\mathbf{A}_{32}$. $\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{22}$. $\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{16}$. $\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{15}$. $\mathbf{A}_{15} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{20}$. $\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{64}$. $\mathbf{A}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} 3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -3/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{243}$. $\mathbf{A}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{253}$. $\mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{255}$. $\mathbf{A}_{255} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{329}$. $\mathbf{A}_{329} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} \\ 0 & 2/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{330}$. $\mathbf{A}_{330} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} \\ 1/(3 - \sqrt{3}) & 1/(3 + \sqrt{3}) & -1/\sqrt{3} \\ 1/(3 + \sqrt{3}) & 1/(3 - \sqrt{3}) & 1/\sqrt{3} \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{432}$. $\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{433}$. $\mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{445}$. $\mathbf{A}_{445} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/2 & 1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & 1/2 & -1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/2 & -1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & -1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right]$.

$\mathbf{A}_{436}$. $\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$.

переставить ее строки

переставить ее столбцы

написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке

транспонировать

повернуть вокруг побочной диагонали

умножить одну из строк на число

прибавить одну из строк к другой.

$A + B$

$AB$

$AB^{T}$

$\alpha A$

$A^{k}, \quad k$ целое.

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{smallmatrix}\right]?$

Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными?

Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов.

Даны два ортонормированных базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{n}$. Доказать, что матрица из скалярных произведений $\left(e_{i}, f_{j}\right)$ — ортогональная.

Даны две ортонормированные системы по $k < n$ векторов в $n$-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов этих систем?