25.2

Скалярное произведение в координатах (25.20-25.44)

[25/80%]
Показать
LaTeX
Задача 25.20

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right] и [1258]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 8\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1214]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4\end{smallmatrix}\right] и [1−110]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[−121−4]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -4 \end{smallmatrix}\right] и [4−1−21]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

c171\mathbf{c}_{171} и c172\mathbf{c}_{172}. c171=[−1110],c172=[3643]\mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c174\mathbf{c}_{174} и c175\mathbf{c}_{175}. c174=[−1111],c175=[1301]\mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{175} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.21

Найти угол между ребром и диагональю nn-мерного куба.

?
Задача 25.22

Найти длины векторов и косинусы углов между ними в задаче 25. 20:

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right] и [1258]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 8\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1214]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4\end{smallmatrix}\right] и [1−110]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[−121−4]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -4 \end{smallmatrix}\right] и [4−1−21]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

c171\mathbf{c}_{171} и c172\mathbf{c}_{172}. c171=[−1110],c172=[3643]\mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c174\mathbf{c}_{174} и c175\mathbf{c}_{175}. c174=[−1111],c175=[1301]\mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{175} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.23

Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора xx равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный.

?
Задача 25.24

Нарисовать на плоскости какой — либо базис с матрицей Грама A19\mathbf{A}_{19}. Описать все множество таких базисов. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 25.25

Найти скалярное произведение векторов, если заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама Γ\Gamma этого базиса:

?
(1)

[111],[131],Γ=[1−21−25−41−46]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 6\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−11],[013],Γ=[1232583814]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]

(3)

c20,c23,Γ=A24\mathbf{c}_{20}, \mathbf{c}_{23}, \Gamma = \mathbf{A}_{24}. c20=[0−2],c23=[2−1],A24=[1−1−12]\mathbf{c}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c23,c36,Γ=A17\mathbf{c}_{23}, \mathbf{c}_{36}, \Gamma = \mathbf{A}_{17}. c23=[2−1],c36=[3−3],A17=[3559]\mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[1⋯1],c282,A630\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \cdots \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282}, \mathbf{A}_{630}. c282=[1μμ2⋮μn−1],A630=[111…11121…11113…11………………111…1n]\mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{630} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.26

Найти углы между векторами, заданными их координатами:

?
(1)

[1111],[0202]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(2)

[2121],[0202]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & \sqrt{2} & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(3)

[5021],[2121]\left[\begin{smallmatrix} 5 & 0 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(4)

[10],[01]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right]; базис с матрицей Грама [1114]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

c12,c33\mathbf{c}_{12}, \mathbf{c}_{33}; базис с матрицей Грама A58\mathbf{A}_{58}. c12=[11],c33=[21],A58=[1−2−25]\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(6)

c18,c12\mathbf{c}_{18}, \mathbf{c}_{12}; базис с матрицей Грама A58\mathbf{A}_{58}. c18=[31],c12=[11],A58=[1−2−25]\mathbf{c}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.27

Найти длины векторов в задаче 25.25:

?
(1)

[111],[131],Γ=[1−21−25−41−46]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 6\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−11],[013],Γ=[1232583814]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]

(3)

c20,c23,Γ=A24\mathbf{c}_{20}, \mathbf{c}_{23}, \Gamma = \mathbf{A}_{24}. c20=[0−2],c23=[2−1],A24=[1−1−12]\mathbf{c}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c23,c36,Γ=A17\mathbf{c}_{23}, \mathbf{c}_{36}, \Gamma = \mathbf{A}_{17}. c23=[2−1],c36=[3−3],A17=[3559]\mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[1⋯1],c282,A630\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \cdots \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282}, \mathbf{A}_{630}. c282=[1μμ2⋮μn−1],A630=[111…11121…11113…11………………111…1n]\mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{630} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.28

При каких значениях параметров ε,α\varepsilon , \alpha данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве:

?
(1)

A80\mathbf{A}_{80}. A80=[1−ε−ε1]\mathbf{A}_{80} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -\varepsilon \\ -\varepsilon & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(3)

A76\mathbf{A}_{76}. A76=[cos⁡αsin⁡αsin⁡α−cos⁡α]\mathbf{A}_{76} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.29

Доказать, что в nn-мерном пространстве квадратная матрица Γ\Gamma порядка nn может служить матрицей Грама какоголибо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица SS с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Γ=STS\Gamma = S^{T} S.

?
Задача 25.30

Доказать, что в nn-мерном пространстве квадратная матрица Γ\Gamma порядка nn может служить матрицей Грама какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Γ=ΓT\Gamma = \Gamma^{T} и ξTΓξ>0\xi^{T} \Gamma \xi > 0 для любого столбца ξ≠o\xi \neq \mathbf{o}.

?
Задача 25.31

Пусть Γ\Gamma — матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы:

?
(1)

Γ−1\Gamma^{ - 1}

(2)

Γ2\Gamma^{2}

(3)

Γk\Gamma^{k}, где kk целое.

Задача 25.32

Пусть Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2} — матрицы Грама базисов e1\mathbf{e}_{1} и e2\mathbf{e}_{2}. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Γ=α1Γ1+α2Γ2\Gamma = \alpha_{1} \Gamma_{1} + \alpha_{2} \Gamma_{2} также есть матрица Грама некоторого базиса.

?
Задача 25.33

В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо 0, либо 1, либо - 1. Доказать, что базис ортонормированный.

?
Задача 25.34

Доказать, что максимальный по модулю элемент матрицы Грама расположен на главной диагонали.

?
Задача 25.35

Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой:

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−1−1−1]\left[\begin{smallmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(4)

[0101]\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(5)

[12121412]\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.36

Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка1 со скалярным произведением, определенным в задаче 25.6, если PP равно:

Footnotes

  1. См. введение к 15. ↩

?
(1)

A17\mathbf{A}_{17}. A17=[3559]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A24\mathbf{A}_{24}. A24=[1−1−12]\mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.37

В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрицу Грама стандартного базиса.

?
Задача 25.38

В пространстве квадратных матриц порядка nn со скалярным произведением задачи 25. 4 найти матрицу Грама стандартного базиса.

?
Задача 25.39

Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Грама его биортогонального базиса e∗\mathbf{e}^{ * }.

?
Задача 25.40

Пусть любые два различных вектора из системы x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} образуют угол π/3\pi / 3. Доказать, что эти векторы линейно независимы.

?
Задача 25.41

Даны две системы векторов x1,…,xpx_{1}, \ldots , x_{p} и y1,…,ypy_{1}, \ldots , y_{p}, и из скалярных произведений cij=(xi,yj)c_{ij} = \left(x_{i}, y_{j}\right) составлена матрица CC.

?
(1)

Доказать, что det⁡C=0\operatorname {det} C = 0, если хоть одна из систем линейно зависима.

(2)

Верно ли обратное утверждение?

Задача 25.42

Две упорядоченные системы векторов e1,…,eke_{1}, \ldots , e_{k} и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} в евклидовом пространстве называются биортогональными, если (ei,fj)=0\left(e_{i}, f_{j}\right) = 0 при i≠ji \neq j, а (ei,fi)=1\left(e_{i}, f_{i}\right) = 1 для всех ii. Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима.

?
Задача 25.43

Для системы векторов x1,…,xpx_{1}, \ldots , x_{p} евклидова пространства составляется матрица CC с элементами cij=(xi,xj)c_{ij} = \left(x_{i}, x_{j}\right). Пусть Rg⁡C=k\operatorname {Rg} C = k и минор порядка kk в левом верхнем углу базисный. Указать какую — нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов.

?
Задача 25.44

Используя свойства матрицы, составленной из всевозможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы AA выполнено Rg⁡ATA=Rg⁡A\operatorname {Rg} A^{T} A = \operatorname {Rg} A.

?