Непрерывные семимартингалы

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение, начатое в 1, и $T_{0}=\inf \left\{ t>0: W_{t}=0\right\}$. Является ли $M_{t}=W_{t \wedge T_{0}}$ квадратично интегрируемым мартингалом? Локально квадратично интегрируемым мартингалом? Равномерно интегрируемым мартингалом? Мартингалом? Локальным мартингалом? Семимартингалом?

Докажите, что если $M$ — субмартингал с непрерывными траекториями, sup ${ }_{t}\left|M_{t}\right|$ интегрируем, и $S \leq T$ — конечные моменты остановки, то $\mathbb {E}\left[M_{T} \mid \mathcal{F}_{S}\right] \geq M_{S}$. Заметьте, что последняя часть доказательства предложения 9.3 здесь не проходит.

Предположим, что $M_{t}$ — локальный мартингал с непрерывными траекториями. Покажите, что если $N>0$, $T_{N}=\inf \{ t$ : $\left.\left|M_{t}\right| \geq N\right\}$, и $M_{t}^{N}=M_{t \wedge T_{N}}$, то $M^{N}$ — равномерно интегрируемый мартингал.

Предположим, что $W_{t}^{1}$ и $W_{t}^{2}$ — два независимых броуновских движения, $t_{0}>0$, и $M_{t}^{i}=W_{t \wedge t_{0}}, i=1,2$. Покажите, что $\left\langle M^{1}, M^{2}\right\rangle_{t}=0$.

Покажите, что норма, определённая в (9.10), полна.

Пусть $Z_{t}$ — ограниченный супермартингал с непрерывными траекториями, постоянный начиная с некоторого момента $t_{0}$. Покажите, что для каждого $t$

Мы упоминали, что существование $\left\langle M\right\rangle$ можно доказать, не используя теорему Дуба-Мейера. Вот как начинается это рассуждение. Пусть $M$ — ограниченный непрерывный мартингал, и для каждого $n$ определим

Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$. Докажите, что для каждого $t>0$, $\mathbb {E}\left[\left|I_{n}(t)-I_{m}(t)\right|^{2}\right] \rightarrow 0$ при $n, m \rightarrow \infty$. Тогда можно определить $\left\langle M\right\rangle_{t}$ как $L^{2}$-предел $I_{n}(t)$.

Указание: Если $n>m$, заметьте, что