Непрерывность траекторий

Докажите следствие 8.4.

Следствие 8.4: Предположим, что существуют такие $c_{1}, \varepsilon , N$ и $p>0$, что при $n \leq N$

Тогда существует такая константа $c_{2}$, зависящая от $c_{1}, \varepsilon$ и $p$, но не от $N$, что для $M>0$ и $n \leq N$ выполняется

Если выполнено условие теоремы 8.1 и $\gamma <\varepsilon / p$, покажите, что существует такая константа $c_{2}$, зависящая только от $c_{1}, \varepsilon , \gamma$ и $p$, что для $M>0$

Предположим, что $X$ — вещественнозначный процесс и существуют константы $c_{1}, c_{2}$ такие, что

Докажите, что с вероятностью единица у $X$ существует версия, равномерно непрерывная на диадических рациональных числах в $[0,1]$.

Предположим, что $\left(X_{t}, t \in [0,1]\right)$ — гауссовский процесс с нулевым средним, и существуют такие $c$ и $\varepsilon$, что

Докажите, что существует версия $X$ с непрерывными траекториями на $[0,1]$.

Пусть $X$ такой же, как в упражнении 8.4. При каких значениях $\alpha$ траектории $X$ будут гёльдеровски непрерывны порядка $\alpha$? ($\alpha$ будет зависеть от $\varepsilon$.$)$

Пусть $\left\{ X_{s, t}: s, t \in [0,1]\right\}$ — набор случайных величин. Предположим, что существуют такие $c, p$ и $\varepsilon >0$, что

Докажите, что с вероятностью единица отображение $(s, t) \rightarrow X_{s, t}(\omega )$ равномерно непрерывно на $\mathcal{D} \times \mathcal{D}=$ $\left\{ (s, t) ; s, t \in \mathcal{D}\right\}$.