7

Свойства траекторий броуновского движения

[8/0%]
LaTeX
Задача 7.1

Здесь требуется найти более точное описание модуля непрерывности траекторий броуновского движения. Докажите, что

lim⁡δ→0sup⁡s,t∈[0,1],0<∣t−s∣<δ∣Wt−Ws∣δlog⁡(1/δ)<∞, п.н.  \lim _{\delta \rightarrow 0} \sup _{s, t \in [0,1], 0<|t-s|<\delta } \frac{\left|W_{t}-W_{s}\right|}{\sqrt{\delta \log (1 / \delta )}}<\infty , \quad \text{ п.н. }

Указание: повторите доказательство теоремы 7.1.

?
Задача 7.2

Следующее утверждение составляет часть так называемого закона повторного логарифма Чунга. В разделе 40.3 мы увидим, что существует такая константа c1c_{1}, что

P(sup⁡s≤t∣Ws∣≤λ)≤c1e−π2t/8λ2 \mathbb {P}\left(\sup _{s \leq t}\left|W_{s}\right| \leq \lambda \right) \leq c_{1} e^{-\pi ^{2} t / 8 \lambda ^{2}}

при достаточно большом t/λ2t / \lambda^{2}. Докажите, что

lim inf⁡t→∞sup⁡s≤t∣Ws∣t/log⁡log⁡t<∞, п.н.  \liminf _{t \rightarrow \infty } \frac{\sup _{s \leq t}\left|W_{s}\right|}{\sqrt{t / \log \log t}}<\infty , \quad \text{ п.н. }
?
Задача 7.3

Пусть WtW_{t} — одномерное броуновское движение. В разделе 40.3 мы увидим, что существует такая константа c2c_{2}, что

P(sup⁡s≤t∣Ws∣≤λ)≥c2e−π2t/βλ2 \mathbb {P}\left(\sup _{s \leq t}\left|W_{s}\right| \leq \lambda \right) \geq c_{2} e^{-\pi ^{2} t / \beta \lambda ^{2}}

если t/λ2t / \lambda^{2} достаточно велико. Докажите, что

lim inf⁡t→∞sup⁡s≤t∣Ws∣t/log⁡log⁡t>0, п.н.  \liminf _{t \rightarrow \infty } \frac{\sup _{s \leq t}\left|W_{s}\right|}{\sqrt{t / \log \log t}}>0, \quad \text{ п.н. }

Это вторая половина закона повторного логарифма Чунга. На самом деле,

lim inf⁡t→∞sup⁡s≤t∣Ws∣t/log⁡log⁡t=c, п.н. (7.6) \liminf _{t \rightarrow \infty } \frac{\sup _{s \leq t}\left|W_{s}\right|}{\sqrt{t / \log \log t}}=c, \quad \text{ п.н. } \tag {7.6}

Найдите cc и докажите (7.6).

?
Задача 7.4

Функция ff называется гёльдеровски непрерывной порядка α\alpha в точке tt, если существует такая константа cc, что ∣f(u)−f(t)∣≤|f(u)-f(t)| \leq c∣u−t∣αc|u-t|^{\alpha } для всех uu. Предположим, что α>1/2\alpha >1 / 2 и WtW_{t} — броуновское движение. Покажите, что событие

A={∃t∈[0,1]:W гёльдеровски непрерывно порядка α в точке t) A=\{ \exists t \in [0,1]: W \text{ гёльдеровски непрерывно порядка } \alpha \text{ в точке } t)

имеет вероятность 0.

Указание: повторите доказательство нигде-недифференцируемости, но используйте более трёх временных интервалов.

?
Задача 7.5

Пусть WW — одномерное броуновское движение, и пусть Mt=sup⁡s≤tWsM_{t}=\sup_{s \leq t} W_{s} (без знаков абсолютной величины). Докажите, что если ε>0\varepsilon >0, то

lim inf⁡t→∞Mtt/(log⁡t)1+ε>0, п.н.  \liminf _{t \rightarrow \infty } \frac{M_{t}}{\sqrt{t} /(\log t)^{1+\varepsilon }}>0, \quad \text{ п.н. }
?
Задача 7.6

Это дополнение к упражнению 4.10. Докажите, что если p>2p>2 и WW — броуновское движение, то pp-вариация WW, определённая в упражнении 4.10, конечна почти наверное.

Указание: используйте тот факт, что траектории броуновского движения гёльдеровски непрерывны порядка α\alpha при α<1/2\alpha <1 / 2.

?
Задача 7.7

Пусть WW — броуновское движение, и пусть ZZ — множество нулей: Z={t∈[0,1]:Wt=0}Z=\left\{ t \in [0,1]: W_{t}=0\right\}.

?
(1)

Покажите, что существует константа cc, не зависящая от xx или δ\delta, такая что

P(∃s≤δ:Ws=−x)≤P(sup⁡s≤δ∣Ws∣≥∣x∣)≤ce−x2/2δ \mathbb {P}\left(\exists s \leq \delta : W_{s}=-x\right) \leq \mathbb {P}\left(\sup _{s \leq \delta }\left|W_{s}\right| \geq |x|\right) \leq c e^{-x^{2} / 2 \delta }
(2)

Используя марковское свойство броуновского движения, покажите, что существует константа cc, не зависящая от ss или tt, такая что

P(Z∩[s,t]≠∅)≤c(1∧t−ss) \mathbb {P}\left(Z \cap [s, t] \neq \emptyset \right) \leq c\left(1 \wedge \sqrt{\frac{t-s}{s}}\right)
Задача 7.8

Пусть дано борелевское измеримое подмножество AA отрезка [0,1][0,1]; определим

Hγ(A)=lim⁡δ→0sup⁡[inf⁡{∑i=1∞[bi−ai]γ:A⊂∪i=1∞[ai,bi],sup⁡i∣bi−ai∣≤δ}] H_{\gamma }(A)=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sup \left[\inf \left\{ \sum _{i=1}^{\infty }\left[b_{i}-a_{i}\right]^{\gamma }: A \subset \cup _{i=1}^{\infty }\left[a_{i}, b_{i}\right], \sup _{i}\left|b_{i}-a_{i}\right| \leq \delta \right\} \right]

Иными словами, покроем AA объединением интервалов [ai,bi]\left[a_{i}, b_{i}\right] и определим аналог меры Лебега. Отличия состоят в том, что мы рассматриваем ∣bi−ai∣γ\left|b_{i}-a_{i}\right|^{\gamma }, не требуя, чтобы γ\gamma равнялось единице, и требуем, чтобы ни один из интервалов не был длиннее δ\delta. Величина Hγ(A)H_{\gamma }(A) называется мерой Хаусдорфа множества AA относительно функции xγx^{\gamma }. Размерность Хаусдорфа множества AA определяется как

inf⁡{γ:Hγ(A)>0}=sup⁡{γ:Hγ(A)=∞} \inf \left\{ \gamma : H_{\gamma }(A)>0\right\} =\sup \left\{ \gamma : H_{\gamma }(A)=\infty \right\}

(Для подмножеств Rd\mathbb {R}^{d} мы заменяем интервалы [ai,bi]\left[a_{i}, b_{i}\right] шарами радиуса ri⋅r_{i \cdot }.) В качестве разминки к этому упражнению докажите, что размерность Хаусдорфа стандартного канторова множества в [0,1][0,1] равна log⁡2/log⁡3\log 2 / \log 3.

Цель этого упражнения — показать, что если WW — броуновское движение и Z={t∈[0,1]Z=\{ t \in [0,1] : Wt=0}\left.W_{t}=0\right\} — множество нулей, то размерность Хаусдорфа множества ZZ не превосходит 1/21 / 2.

?
(1)

Для каждого nn пусть Cn\mathcal{C}_{n} — набор интервалов [i/2n,(i+1)/2n]\left[i / 2^{n},(i+1) / 2^{n}\right], содержащихся в [0,1][0,1] и пересекающих ZZ. (Cn\mathcal{C}_{n} случаен.) Если #Cn\# \mathcal{C}_{n} — мощность Cn\mathcal{C}_{n}, используйте упражнение 7.7, чтобы показать

E[#Cn]≤∑i=02n−1P(Z∩[i/2n,(i+1)/2n]≠∅)≤c2n/2 \mathbb {E}\left[\# \mathcal{C}_{n}\right] \leq \sum _{i=0}^{2^{n}-1} \mathbb {P}\left(Z \cap \left[i / 2^{n},(i+1) / 2^{n}\right] \neq \emptyset \right) \leq c 2^{n / 2}
(2)

Запишите

∑[i/2n,(i+1)/2n]∈Cn∣2−n∣γ=2−nγ#Cn \sum _{\left[i / 2^{n},(i+1) / 2^{n}\right] \in \mathcal{C}_{n}}\left|2^{-n}\right|^{\gamma }=2^{-n \gamma } \# \mathcal{C}_{n}

Используя неравенство Чебышёва и пункт (1), заключите, что размерность Хаусдорфа множества ZZ не превосходит 1/21 / 2 почти наверное. (Мы покажем, что она не меньше 1/21 / 2, в упражнении 14.10.)