Банк задач по математике

Задача 6.1

(1)(2)(3)(4)

Пусть $Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых нормальных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Определим

X_{t}=\frac{t^{2}}{2 \sqrt{\pi }} Z_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \frac{\cos k t}{k^{2}}\right) Z_{k} \tag {6.9}

?

(1)

Покажите, что сходимость в (6.9) абсолютна и равномерна по $t \in [0,1]$ .

(2)

Покажите, что $X_{t}$ является гауссовским процессом.

(3)

Если $W_{t}$ — броуновское движение и

Y_{t}=\int _{0}^{t} W_{r} d r, \quad t \in [0,1]

покажите, что $X$ и $Y$ имеют одинаковые конечномерные распределения. Покажите, что $X$ и $Y$ имеют одинаковый закон распределения, если рассматривать их как случайные величины, принимающие значения в $C[0,1]$ . (Процесс $X$ иногда называют интегрированным броуновским движением.)

(4)

Найдите $\operatorname {Cov}\left[ X_{s}, X_{t} \right]$ .

Задача 6.2

Пусть $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ — полная ортонормированная система для $L^{2}[0,1]$ . Покажите, что сумма (6.8) сходится в $L^{2}$ , и приведите подробности доказательства того, что результирующий процесс $W$ является гауссовским процессом с нулевым средним, для которого $\operatorname {Cov}\left[ W_{s}, W_{t} \right]=s \wedge t$ , если $s, t \in [0,1]$ .

?

Задача 6.3

(1)(2)

Пусть $\mathcal{D}=\left\{ k / 2^{n}: n \geq 1, k=0,1, \ldots , 2^{n}\right\}$ — двоично-рациональные числа. Предположим, что набор случайных величин $\left\{ V_{t}: t \in \mathcal{D}\right\}$ является совместно нормальным, каждая $V_{t}$ имеет нулевое среднее, и $\operatorname {Cov}\left[ V_{s}, V_{t} \right]=s \wedge t$ .

?

(1)

Докажите, что траектории $V$ равномерно непрерывны по $t \in \mathcal{D}$ .

(2)

Если мы определим $W_{t}=\lim_{s \in \mathcal{D}, s \rightarrow t} V_{s}$ , докажите, что $W$ является броуновским движением.

Задача 6.4

(1)(2)

В этом и следующем упражнении мы приводим построение броуновского движения с помощью функций Хаара. Пусть $\varphi_{00}=1$ на $[0,1]$ , и для $i=1,2, \ldots$ , и $1 \leq j \leq 2^{i-1}$ , положим

\varphi _{i j}(x)= \begin{cases} 2^{(i-1) / 2}, & (2 j-2) / 2^{i} \leq x<(2 j-1) / 2^{i} \\ -2^{(i-1) / 2}, & (2 j-1) / 2^{i} \leq x<2 j / 2^{i} \\ 0, & \text{ иначе }\end{cases}

Хорошо известный и легко доказываемый результат анализа (см., например, Bass (1995), раздел I.2) состоит в том, что набор $\left\{ \varphi_{i j}\right\}$ является полной ортонормированной системой для $L^{2}[0,1]$ .

Для каждых $i, j$ определим

\psi _{i j}(t)=\int _{0}^{t} \varphi _{i j}(s) d s

для каждых $i$ и $j$ пусть $Y_{i j}$ — независимые нормальные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией, и пусть

V_{i}(t)=\sum _{j=1}^{2^{i-1}} Y_{i j} \varphi _{i j}(t)

при $i \geq 1$ . Положим $V_{0}=Y_{00} \varphi_{00}$ .

?

(1)

Зафиксируем $i \geq 1$ . Докажите, что каждая функция $\psi_{i j}$ ограничена величиной $2^{(-i-1) / 2}$ . Докажите, что множества $\left\{ t: \psi_{i j}(t)>0\right\}$ , $j=1, \ldots , 2^{i-1}$ , попарно не пересекаются.

(2)

Зафиксируем $i \geq 1$ . Запишите

\mathbb {P}\left(\exists t \in [0,1]:\left|V_{i}(t)\right|>i^{-2}\right) \leq \mathbb {P}\left(\exists j \leq 2^{i-1}:\left|Y_{i j}\right| 2^{(-i-1) / 2}>i^{-2}\right),

используйте предложение A.52, чтобы оценить это, и заключите, что

\sum _{i=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\sup _{0 \leq t \leq 1}\left|V_{i}(t)\right|>i^{-2}\right)<\infty \tag {6.10}

Задача 6.5

(1)(2)

Это продолжение упражнения 6.4. С теми же $\varphi_{i j}, \psi_{i j}, Y_{i j}$ и $V_{i}$ , что и в той задаче, пусть

W_{t}=\sum _{i=0}^{\infty } V_{i}(t)

?

(1)

Докажите, что $W$ является совместно нормальным гауссовским процессом с нулевым средним и $\operatorname {Cov}\left[ W_{s}, W_{t} \right]=s \wedge t$ .

(2)

Используя (6.10) и лемму Бореля–Кантелли, покажите, что $\sum_{i=1}^{n}\left|V_{i}(t)\right|$ сходится равномерно на $[0,1]$ . Заключите, что $W$ является броуновским движением.

Построение броуновского движения