5

Пуассоновский процесс

[7/0%]
LaTeX
Задача 5.1

Предположим, PtP_{t} — пуассоновский процесс и мы полагаем Xt=Pt−X_{t}=P_{t-}. Является ли P1−X1−tP_{1}-X_{1-t} пуассоновским процессом на [0,1][0,1]? Почему да или почему нет?

?
Задача 5.2

Пусть PP — пуассоновский процесс с параметром λ\lambda. Покажите, что

lim⁡n→∞sup⁡t≤1∣Pntn−λt∣=0, п.н.  \lim _{n \rightarrow \infty } \sup _{t \leq 1}\left|\frac{P_{n t}}{n}-\lambda t\right|=0, \quad \text{ п.н. }
?
Задача 5.3

Покажите, что если P(1)P^{(1)} и P(2)P^{(2)} — независимые пуассоновские процессы с параметрами λ1\lambda_{1} и λ2\lambda_{2} соответственно, то Pt(1)+Pt(2)P_{t}^{(1)}+P_{t}^{(2)} является пуассоновским процессом с параметром λ1+λ2\lambda_{1}+\lambda_{2}.

?
Задача 5.4

Если XX определён формулой (5.2), покажите, что XX является пуассоновским процессом.

?
Задача 5.5

Пусть XtX_{t} — случайный процесс и пусть {Ft00}\left\{ \mathcal{F}_{t}^{00}\right\} — фильтрация, порождённая XX. Предположим, что XX является пуассоновским процессом относительно фильтрации {Ft00}\left\{ \mathcal{F}_{t}^{00}\right\}. Покажите, что XX является пуассоновским процессом относительно минимальной пополненной фильтрации, порождённой XX.

Указание: Повторите доказательство Предложения 2.5.

?
Задача 5.6

Предположим, PtP_{t} — пуассоновский процесс, а ff и gg — неотрицательные ограниченные детерминированные функции с компактным носителем. Найдите необходимые и достаточные условия на ff и gg, при которых ∫0∞f(s)dPs\int_{0}^{\infty } f(s) d P_{s} и ∫0∞g(s)dPs\int_{0}^{\infty } g(s) d P_{s} независимы.

Указание: Сначала покажите, что характеристическая функция F=∫0∞f(s)dPsF=\int_{0}^{\infty } f(s) d P_{s} равна

E[eiuF]=exp(∫0∞(eiuf(s)−1)ds) \mathbb {E}\left[e^{i u F}\right]=\mathrm{exp}\left(\int _{0}^{\infty }\left(e^{i u f(s)}-1\right) d s\right)
?
Задача 5.7

Мы поговорим о слабой сходимости в общих метрических пространствах в главах 30-35. Это упражнение касается слабой сходимости вещественнозначных случайных величин, как определено в разделе A.12.

Предположим, для каждого nn, PnP_{n} — пуассоновская случайная величина с параметром λn\lambda_{n} и λn→∞\lambda_{n} \rightarrow \infty при n→∞n \rightarrow \infty. Докажите, что

Pn−λnλn \frac{P_{n}-\lambda _{n}}{\sqrt{\lambda _{n}}}

слабо сходится к нормальной случайной величине с нулевым средним и единичной дисперсией.

Указание: Повторите доказательство Теоремы A.51.

Предполагая, что со сходимостью нет затруднений, мы имеем

Cov⁡[Ws,Wt]=∑n=1∞an(s)an(t)=∑n=1∞⟨  1[0,s],φn⟩⟨  1[0,t],φn⟩=⟨  1[0,s],  1[0,t]⟩=s∧t \begin{aligned} \operatorname {Cov}\left[ W_{s}, W_{t} \right] & =\sum _{n=1}^{\infty } a_{n}(s) a_{n}(t)=\sum _{n=1}^{\infty } \left\langle \; \mathbb {1}_{[0, s]}, \varphi _{n} \right\rangle \left\langle \; \mathbb {1}_{[0, t]}, \varphi _{n} \right\rangle \\ & = \left\langle \; \mathbb {1}_{[0, s]}, \; \mathbb {1}_{[0, t]} \right\rangle =s \wedge t \end{aligned}

Упражнение 6.2 просит вас проверить, что процесс WW, определённый формулой (6.8), является гауссовским процессом с нулевым средним на [0,1][0,1] с теми же ковариациями, что и броуновское движение.

?