Процессы Леви

Пусть $\alpha \in (0,2)$ и пусть $X$ — процесс Леви, где $b=\sigma =0$ в формуле Леви—Хинчина, а мера Леви равна $m(d x)=c|x|^{-1-\alpha } d x$. Покажите, что если $a>0$ и $Y_{t}=a^{1 / \alpha } X_{a t}$, то $Y$ имеет тот же закон распределения, что и $X$. Процесс $X$ известен как симметричный устойчивый процесс индекса $\alpha$.

Предположим, что $W_{t}=\left(W_{t}^{1}, W_{t}^{2}\right)$ — двумерное броуновское движение, начинающееся в 0. Пусть $\tau_{s}=$ $\inf \left\{ t>0: W_{t}^{1}>s\right\}$. Докажите, что $W_{\tau_{t}}^{2}$ — процесс Леви, и определите меру Леви.

Указание: Используйте масштабирование, чтобы угадать ответ.

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение, а $L^{0}$ — локальное время в 0. Пусть $T_{t}$ — обратный процесс к $L^{0}$, то есть $T_{t}=\inf \left\{ s: L_{s}^{0} \geq t\right\}$. Покажите, что $T_{t}$ — процесс Леви, и определите меру Леви.

Указание: Используйте масштабирование для начала.

Пусть $W_{t}$ — одномерное броуновское движение, $L_{t}^{y}$ — локальное время на уровне $y$, а $T_{t}$ — обратное локальное время в 0, то есть $T_{t}=\inf \left\{ s: L_{s}^{0} \geq t\right\}$. Пусть $x>0$ зафиксировано. Докажите, что $L_{T_{t}}^{x}$ — процесс Леви.

Пусть $X$ — процесс Леви с мерой Леви $m$. Докажите, что если $A$ и $B$ — непересекающиеся замкнутые множества, то

для каждого $x$, где $B-y=\left\{ z-y: z \in B\right\}$. Это формула системы Леви в случае процессов Леви. Существует аналогичная формула для процессов Ханта.

Устойчивый субординатор $X$ порядка $\alpha \in (0,1)$ — это процесс Леви, чья характеристическая функция задаётся формулой (42.6), где $b=\sigma^{2}=0$ и $m(d x)=c \; \mathbb {1}_{(x>0)}|x|^{-\alpha -1} d x$. Предположим, что $X$ — устойчивый субординатор индекса $\alpha$, а $W$ — броуновское движение. Покажите, что, с точностью до детерминированной замены времени, процесс $Z_{t}=W_{X_{t}}$ является симметричным устойчивым процессом индекса $2 \alpha$.

Указание: Начните с использования масштабирования.

Пусть $Z_{t}$ — симметричный устойчивый процесс порядка $\alpha \in (0,2)$. Покажите, что если $\varepsilon >0$, то