Одномерные диффузии

В доказательстве предложения 41.2 мы многократно использовали строгое марковское свойство. Выпишите подробно, в терминах операторов сдвига и условных математических ожиданий, как строгое марковское свойство применяется в каждом случае.

Предложение 41.2: Пусть $J=[a, b]$ — конечный интервал. Тогда $p\left(X_{t \wedge \tau_{J}}\right)$ является регулярной диффузией на $[0,1]$ в естественном масштабе (где $p$ — функция масштаба для $X$, убитого при выходе из $J$).

Дайте строгое доказательство формулы (41.9).

Покажите, что если

для всех $x, a$ и $b$, то $m_{1}=m_{2}$.

Покажите, что если $X$ — бесселев процесс порядка 2, то функция масштаба задаётся формулой $s(x)=\log x$, $Y_{t}=s\left(X_{t}\right)$ удовлетворяет уравнению $d Y_{t}=e^{-Y_{t}} d W_{t}$, а мера скорости равна $m(d x)=e^{2 x} d x$.

Предположим, что $X$ — регулярная диффузия, пространство состояний которой есть $\mathbb {R}$. Докажите, что $X$ находится в естественном масштабе тогда и только тогда, когда

для всех $a<b$.

Пусть $a>0$ и $m(d x)=d x+a \delta_{0}(d x)$, где $\delta_{0}$ — точечная масса в 0. Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — диффузия на прямой в естественном масштабе, чья мера скорости задаётся $m$. Покажите, что при $\mathbb {P}[0]$

с вероятностью единица для каждого $t>0$. Докажите, что для каждого $t>0$ множество $Z_{t}=\left\{ t: X_{t}=0\right\}$ не содержит интервалов. Таким образом, нулевое множество процесса $X$ проводит в точке 0 время, имеющее положительную меру Лебега, но это нулевое множество не содержит интервалов.

Определим

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}_{a}^{x}\right)$ — диффузия в естественном масштабе на прямой, чья мера скорости задаётся $m_{a}$. Предположим, $x>0$.

Докажите, что если $a \rightarrow \infty$, то $\mathbb {P}_{a}^{x}$ слабо сходится к закону распределения броуновского движения, поглощённого (т.е. убитого) в 0, начинающегося в $x$. Как вы думаете, что происходит при $a \rightarrow 0$?