Решение уравнений в частных производных

Предположим,

где $W$ — одномерное броуновское движение, а $a_{s}$ — согласованный процесс, ограниченный числом $K$. Пусть $L>K>0$ и $t_{0}>0$. Покажите, что существует $\varepsilon >0$, зависящее только от $L, K$ и $t_{0}$, такое что $\mathbb {P}\left(\left|X_{t_{0}}\right|>3 L\right)>\varepsilon$.

Предположим, $X_{t}=M_{t}+\int_{0}^{t} a_{s} d s$, где $a_{s}$ такое же, как в (1), а $M$ — непрерывный мартингал с $K^{-1} \leq d\left\langle M\right\rangle_{t} / d t \leq K$ п.н. Используя замену времени, покажите, что существуют $L, \varepsilon >0$ такие что

Если теперь $X$ — решение (40.1), $a=\sigma \sigma^{T}$, и $\mathcal{L}$, заданное формулой (40.2), равномерно эллиптично, покажите, рассматривая первую координату $X$, что существуют $L, \varepsilon$ такие что

То, что вы доказали в (3), можно переформулировать так: если $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс, решающий (40.1) для каждой начальной точки, и $\tau =\inf \left\{ t: X_{t} \notin B(0, L)\right\}$, то $\mathbb {P}_{x}\left(\tau >1\right) \leq 1-\varepsilon$, где $\varepsilon$ не зависит от $x$. Теперь воспользуйтесь строгим марковским свойством (ср. доказательство предложения 21.2), чтобы показать $\mathbb {P}_{x}\left(\tau >k\right) \leq (1-\varepsilon )^{k}$. Заключите, что $\tau <\infty$, $\mathbb {P}[x]$-п.н., для каждой начальной точки $x$.