Банк задач по математике

Задача 4.1

Если $W$ — броуновское движение, пусть $S_{t}=\sup_{s \leq t} W_{s}$ . Найдите плотность для $S_{t}$ .

?

Задача 4.2

При $W$ и $S$ , как в упражнении 4.1, найдите совместную плотность $\left(S_{t}, W_{t}\right)$ .

?

Задача 4.3

Пусть $W$ — броуновское движение, начатое в $a>0$ , и пусть $T_{0}$ — первый момент, когда $W$ достигает $0$ . Найдите закон распределения $\sup_{t \leq T_{0}} W_{t}$ .

?

Задача 4.4

Используйте принцип отражения, чтобы доказать, что если $W$ — броуновское движение и $T=\inf \left\{ t>0: W_{t} \in \right.$ $(0, \infty )\}$ , то

\mathbb {P}\left(T=0\right)=1

Другими словами, броуновское движение немедленно входит в интервал $(0, \infty )$ . По симметрии оно немедленно входит в интервал $(-\infty , 0)$ . Заключите, что броуновское движение попадает в 0 бесконечно много раз на каждом временном интервале $[0, t]$ .

?

Задача 4.5

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение и $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация, порождённая $W$ . Пусть

T=\inf \left\{ t>0: W_{t}=\sup _{0 \leq s \leq 1} W_{s}\right\}

Покажите, что $T$ не является моментом остановки относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ .

?

Задача 4.6

(1)(2)

Пусть $W$ и $S$ такие же, как в упражнении 4.1.

?

(1)

Пусть $0<s<t<u$ и пусть $a<b$ с $b-a \leq 1$ . Покажите, что существует константа $c$ , зависящая от $s, t$ и $u$ , но не от $a$ или $b$ , такая что

\mathbb {P}\left(S_{s} \in [a, b], \sup _{t \leq r \leq u} W_{r} \in [a, b]\right) \leq c(b-a)^{2}

(2)

Покажите, что траектория броуновского движения не принимает одно и то же значение в качестве локального максимума дважды. То есть, если $S$ и $T$ — моменты времени, когда $W$ имеет локальный максимум, то $W_{S} \neq W_{T}$ п.н.

Задача 4.7

Пусть $V_{t}$ — число пересечений снизу вверх отрезка $[0,1]$ броуновским движением $W$ до момента времени $t$ . Это означает, что мы полагаем $S_{1}=0$ , $T_{i}=\inf \left\{ t>S_{i}: W_{t} \geq 1\right\}$ и $S_{i+1}=\inf \left\{ T>T_{i}: W_{t} \leq 0\right\}$ для $i=1,2, \ldots$ , и мы полагаем $V_{t}=\sup \left\{ k: T_{k} \leq t\right\}$ . Покажите, что $V_{t} \rightarrow \infty$ п.н. при $t \rightarrow \infty$ .

?

Задача 4.8

(1)(2)

Пусть $W$ — броуновское движение. Нулевое множество броуновского движения — это случайное множество

Z(\omega )=\left\{ t \in [0,1]: W_{t}(\omega )=0\right\}

?

(1)

Покажите, что $Z(\omega )$ является замкнутым множеством для каждого $\omega$ .

(2)

Покажите, что с вероятностью единица каждая точка $Z(\omega )$ является предельной точкой $Z(\omega )$ . Заключите, что $Z(\omega )$ является несчётным множеством.

Задача 4.9

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение и $\delta >0$ .

?

(1)

Докажите, что существует $\gamma$ такое, что если $t \leq \gamma$ , то

\mathbb {P}\left(0 \leq W_{t} \leq \delta / 2\right) \geq 1 / 4 \quad \text{ и } \quad \mathbb {P}\left(-\delta / 2 \leq W_{t} \leq 0\right) \geq 1 / 4

(2)

Докажите, что существует $\gamma$ такое, что

\mathbb {P}\left(\sup _{s \leq \gamma }\left|W_{s}\right|>\delta / 2\right) \leq 1 / 8

(3)

Докажите, что если $m \geq 1$ , то

\begin{aligned} & \mathbb {P}\left( \sup _{m \gamma \leq s \leq (m+1) \gamma }\left|W_{s}-W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2, W_{m \gamma } \in [0, \delta / 2],\left|W_{(m+1) \gamma }\right| \leq \delta / 2 \mid \mathcal{F}_{m \gamma } \right) \\ & \geq \frac{1}{8} \mathbb {P}\left(\sup _{m \gamma \leq s \leq (m+1) \gamma }\left|W_{s}-W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2, W_{m \gamma } \in [0, \delta / 2]\right) \end{aligned}

и то же самое с $W_{m \gamma } \in [-\delta / 2,0]$ вместо $W_{m \gamma } \in [0, \delta / 2]$ . Заключите, что

\begin{aligned} & \mathbb {P}\left( \sup _{m \gamma \leq s \leq (m+1) \gamma }\left|W_{s}-W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2,\left|W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2,\left|W_{(m+1) \gamma }\right| \leq \delta / 2 \mid \mathcal{F}_{m \gamma } \right) \\ & \geq \frac{1}{8} \mathbb {P}\left(\sup _{m \gamma \leq s \leq (m+1) \gamma }\left|W_{s}-W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2,\left|W_{m \gamma }\right| \leq \delta / 2\right) \end{aligned}

(4)

Используйте индукцию, чтобы доказать, что если $t_{0}>0$ , существует $c_{1}>0$ такое, что

\mathbb {P}\left(\sup _{s \leq t_{0}}\left|W_{s}\right| \leq \delta \right)>c_{1}

(5)

Докажите, что если $W$ — $d$ -мерное броуновское движение, $t_{0}>0$ и $\delta >0$ , существует $c_{2}$ такое, что

\mathbb {P}\left(\sup _{s \leq t_{0}}\left|W_{s}\right| \leq \delta \right)>c_{2} .

Задача 4.10

$p$ -вариация функции $f$ на интервале $[0,1]$ определяется как

V^{p}(f)=\sup \left\{ \sum _{i=0}^{n-1}\left|f\left(t_{i+1}\right)-f\left(t_{i}\right)\right|^{p}: n \geq 1,0=t_{0}<t_{1}, \cdots <t_{n}=1\right\}

супремум берётся по всем разбиениям $P$ отрезка $[0,1]$ . В этом упражнении мы докажем, что если $p<2$ и $W$ — броуновское движение, то $V^{p}(W)=\infty$ п.н.

?

(1)

Пусть $X_{i}$ — н.о.р. последовательность случайных величин с конечным средним. Используйте усиленный закон больших чисел, чтобы доказать, что если $K>\mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ , то

\mathbb {P}\left(\sum _{i=1}^{n} X_{i}>K n\right) \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ .

(2)

Если $p<2$ , возьмите $r \in (p, 2)$ и пусть $\varepsilon_{n}=n^{-1 / r}$ . Пусть $S_{0}=0$ и для $i \geq 0$ положим $S_{i+1}=\inf \left\{ t>S_{i}:\left|W_{t}-W_{S_{i}}\right|>\varepsilon_{n}\right\}$ . Положим $X_{i}=\varepsilon_{n}^{-2}\left(S_{i}-S_{i-1}\right)$ . Докажите, что $X_{i}$ являются н.о.р. с конечным средним.

(3)

Используйте (1), чтобы показать, что

\mathbb {P}\left(S_{n}>1\right)=\mathbb {P}\left(\sum _{i=1}^{n} X_{i}>\varepsilon _{n}^{-2}\right) \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ .

(4)

Используя разбиение $\left\{ S_{0}, S_{1}, \ldots , S_{n}\right\}$ , покажите, что $V^{p}(W) \geq n \varepsilon_{n}^{p}$ на событии $\left(S_{n} \leq 1\right)$ .

(5)

Заключите, что $V^{p}(W)=\infty$ п.н.

Марковские свойства броуновского движения