Марковские процессы и СДУ

Покажите, что существование слабого решения уравнения (39.1) равносильно существованию решения мартингальной проблемы для $\mathcal{L}$.

Предположим, что $a_{i j}$ — липшицевы функции по $x$, а матрицы $a(x)$ положительно определены равномерно по $x$; см. упражнение 25.4. Покажите, что можно найти матрицы $\sigma (x)$ такие, что каждая $\sigma_{i j}$ является липшицевой функцией $x$ и $a(x)=\sigma (x) \sigma^{T}(x)$ для каждого $x$.

Пусть $X$ — решение уравнения (39.1). Дайте формулы для $A_{t}$ и $M_{t}$ через $\sigma$ и $b$, где $M_{t}$ — локальный мартингал, $A_{t}$ — процесс, траектории которого локально имеют ограниченную вариацию, и $|X_{t}|=M_{t}+A_{t}$.

Пусть $A \in (-1, \infty )$ и пусть $X$ — решение уравнения (39.1), где все $b_{i}$ равны 0, $a=\sigma \sigma^{T}$ и

при $x \neq 0$, где $\delta_{i j}$ равно 1, если $i=j$, и 0 в противном случае. Пусть $a(0)$ — единичная матрица.

Предположим, что для каждого $n \geq 1$ функция $a_{i j}^{n}(x)$ симметрична по $i$ и $j$, непрерывна по $x$, и матрица, чей $(i, j)$-й элемент есть $a_{i j}^{n}(x)$, положительно определена равномерно по $x$ и $n$. Пусть

для $f \in C^{2}$. Предположим, что $a_{i j}^{n}(x)$ сходится к $a_{i j}(x)$ равномерно по $x$ при $n \rightarrow \infty$, и определим $\mathcal{L}$ аналогично (39.17). Зафиксируем $x_{0}$ и пусть $\mathbb {P}_{n}$ — решение мартингальной задачи для $\mathcal{L}^{n}$, начинающееся в $x_{0}$.

Предположим, что $X$ — решение уравнения $d X_{t}=\sigma \left(X_{t}\right) d W_{t}$, где $W$ — $d$-мерное броуновское движение, $\sigma (x)$ — ограниченная матричнозначная функция размера $d \times d$, и $\sigma^{T} \sigma$ положительно определена равномерно по $x$. Докажите следующую оценку для времени выхода из шара: существуют константы $c_{1}$ и $c_{2}$, не зависящие от $x_{0}$, такие что

где $\tau_{B\left(x_{0}, r\right)}=\inf \left\{ t>0: X_{t} \notin B\left(x_{0}, r\right)\right\}$.