Формы Дирихле

Пусть $F_{1}=\left\{ f \in C^{1}[0, \infty ): f\right.$ имеет компактный носитель $\}$ и $F_{2}=F_{1} \cap \left\{ f \in C^{1}[0, \infty )\right.$: $f$ имеет компактный носитель, $\left.f^{\prime }(0)=0\right\}$. Покажите, что замыкания $F_{1}$ и $F_{2}$ относительно нормы $\left(\int \left(|f(x)|^{2}+\left|f^{\prime }(x)\right|^{2}\right) d x\right)^{1 / 2}$ совпадают.

Если $H^{1}$ — пополнение $C_{K}^{1}$, пространства $C^{1}$-функций на $\mathbb {R}^{d}$ с компактным носителем, относительно нормы, заданной в (38.11), покажите, что $H^{1}$ — гильбертово пространство.

Покажите, что резольвентный оператор $R_{\lambda }$, определённый в Теореме 38.1, является симметричным оператором, то есть если $f, g \in \mathcal{B}$, то $\left\langle R_{\lambda } f, g \right\rangle = \left\langle f, R_{\lambda } g \right\rangle$.

Покажите, что если резольвентный оператор $R_{\lambda }$ является симметричным оператором, то переходные операторы $P_{t}$ также симметричны: если $f, g \in \mathcal{B}$, то $\left\langle P_{t} f, g \right\rangle = \left\langle f, P_{t} g \right\rangle$.

Чтобы решить следующие несколько упражнений, вам потребуется знать некоторые сведения из функционального анализа, а именно спектральную теорему для самосопряжённых операторов. См. Lax (2002).

Пусть $\mathcal{E}$ — форма Дирихле с областью определения $\mathcal{D}(\mathcal{E})$, а $\mathcal{L}$ — инфинитезимальный генератор полугруппы $P_{t}$, соответствующей $\mathcal{L}$. Пусть $E(d \lambda )$ — спектральное разложение единицы для $-\mathcal{L}$. (Оператор $\mathcal{L}$ отрицателен, поэтому $-\mathcal{L}$ положителен.) Тогда следствием спектральной теоремы является то, что

и

Также

Покажите, что если $f, g \in \mathcal{D}$, то

Указание: сначала докажите это для $f=R_{a} h$. Запишите

Чтобы распространить это на все $f$ из области определения $\mathcal{E}$, используйте тот факт, что $\mathcal{E}$ замкнута.

Если $\mathcal{L}$ — инфинитезимальный генератор полугруппы, ассоциированной с формой Дирихле $\mathcal{E}$, покажите, что $\mathcal{D}(\sqrt{-\mathcal{L}})=\mathcal{D}(\mathcal{E})$.

Покажите, что если $f \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, то $a R_{a} f$ сходится к $f$ по норме, индуцированной $\mathcal{E}_{1}$.

Покажите, что если $b>0$, то $\left\{ R_{b} f: f \in L^{2}\right\}$ является плотным подмножеством $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ относительно нормы, индуцированной $\mathcal{E}_{1}$.

Покажите, что $\left\{ P_{t} f: f \in L^{2}, t>0\right\}$ является плотным подмножеством $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ относительно нормы, индуцированной $\mathcal{E}_{1}$.

Это упражнение показывает, как аппроксимировать $\mathcal{E}$ формами, область определения которых — всё $\mathcal{B}$. Пусть

Покажите, что если $f \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, то $\mathcal{E}^{(t)}(f, f)$ возрастает к $\mathcal{E}(f, f)$. Покажите, что если $f, g \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, то $\mathcal{E}^{(t)}(f, g)$ сходится к $\mathcal{E}(f, g)$.

Покажите, что если $u \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, то $|u| \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$ и $\mathcal{E}(|u|,|u|) \leq \mathcal{E}(u, u)$.

Указание: используйте упражнение 38.10.

Используя упражнение 38.11, покажите, что если $u \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, то $\mathcal{E}\left(u^{+}, u^{-}\right) \leq 0$.

Предположим, что $\left\{ P_{t}\right\}$ — переходные вероятности, соответствующие форме Дирихле $\mathcal{E}$. Предположим, что существуют функции $p_{t}(x, y)$ такие, что для каждого $t$

для почти всех $x$. Докажите, что для почти всех пар $(x, y)$ относительно произведения мер $m \times m$ выполняется $p_{t}(x, y)=p_{t}(y, x)$.

Пусть $f \in L^{2}(m)$, и определим функционал

для $u$ из области определения $\mathcal{E}$. Докажите, что $\psi$ минимизируется при $u=R_{\lambda } f$, и что эта функция — единственный минимизатор.

Пусть $P_{t}$ — полугруппа, ассоциированная с формой Дирихле, и определим

Это продолжение предыдущего упражнения. Если $f$ — функция на пространстве состояний, будем говорить, что $g$ является нормальным сжатием $f$, если $|g(x)| \leq |f(x)|$ для всех $x$ и $|g(x)-g(y)| \leq |f(x)-f(y)|$ для всех $x$ и $y$. В качестве примера заметим, что если $g(x)=-1 \vee (f(x) \wedge 1)$, то $g$ является нормальным сжатием $f$. Докажите, что если $f \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, где $\mathcal{E}$ — форма Дирихле, а $g$ — нормальное сжатие $f$, то для каждого $t>0$