Инфинитезимальные генераторы

Пусть $\mathcal{B}$ — либо пространство $L^{2}$ относительно конечной меры, либо пространство непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, для некоторого локально компактного сепарабельного метрического пространства $S$. В первом случае будем говорить, что $f \geq 0$, если $f(x) \geq 0$ для почти всех $x$, во втором случае — если $f(x) \geq 0$ для всех $x$. Полугруппа неотрицательна, если из $f \geq 0$ следует $P_{t} f \geq 0$ для всех $t \geq 0$. Предположим, что $P_{t}$ — полугруппа, пространство $\mathcal{B}$ содержит постоянные функции и $P_{t} 1=1$ для всех $t$. Покажите, что $P_{t}$ является сжатием тогда и только тогда, когда $P_{t}$ неотрицательна.

Покажите, что $P_{t}$ и $R_{\lambda }$ коммутируют и что

Покажите, что для любых $a<b$ выполняется

Указание: аппроксимируйте $R_{\lambda } f$ суммой Римана.

Покажите, что если $P_{t}$ — полугруппа сжатий, а $R_{\lambda }$ — резольвента, то

Покажите, что если $A$ — ограниченный оператор и $T_{t}=e^{t A}$, то $T_{t}$ — сильно непрерывная полугруппа операторов с инфинитезимальным генератором $A$. (Мы не можем утверждать, что $T_{t}$ являются сжатиями.)

Докажите, что если $\mathcal{L}$ диссипативен, область определения $\mathcal{L}$ плотна в $\mathcal{B}$, а область значений $\lambda -\mathcal{L}$ плотна в $\mathcal{B}$, то $\overline{\mathcal{L}}$, определённый в (37.12), является замкнутым расширением $\mathcal{L}$, которое диссипативно, и область значений $\lambda -\overline{\mathcal{L}}$ равна $\mathcal{B}$. Покажите, что такое замкнутое расширение $\mathcal{L}$ единственно.

Если область значений $\lambda -\mathcal{L}$ равна $\mathcal{B}$ для одного значения $\lambda$, то область значений $\lambda -\mathcal{L}$ равна $\mathcal{B}$ для каждого значения $\lambda$.

Указание: определите $R_{\lambda }$ как обратный к $\lambda -\mathcal{L}$, затем используйте (37.3), чтобы определить $R_{a}$ для других значений $a$.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс с переходными вероятностями, заданными формулой $P_{t} f(x)=f(x+t)$. Определите $\mathcal{L}$ и $\mathcal{D}(\mathcal{L})$.

Пусть $P_{t}$ — сильно непрерывная полугруппа сжимающих операторов, а $\mathcal{L}$ — инфинитезимальный генератор. Покажите, что $\mathcal{D}\left(\mathcal{L}^{n}\right)$ плотно в $\mathcal{B}$ для каждого натурального $n$.

Это продолжение упражнения 36.5. Докажите, что если $f \in C^{2}$ с компактным носителем, $P_{t}$ — полугруппа из упражнения 36.5, а $\mathcal{L}$ — инфинитезимальный генератор, то преобразование Фурье функции $\mathcal{L} f$ равно $\widehat{f}(u) \psi (u)$.

Предположим, что $P_{t}$ — сильно непрерывная полугруппа, но не обязательно полугруппа сжатий. Таким образом, $P_{t+s}=P_{t} P_{s}$ и $P_{t} f \rightarrow f$ по норме, если $f \in \mathcal{B}$, но мы не предполагаем, что $\left\| P_{t}\right\| \leq 1$. Докажите, что существуют константы $K, b>0$ такие, что $\left\| P_{t}\right\| \leq K e^{b t}$ для всех $t \geq 0$.

Указание: используйте принцип равномерной ограниченности из функционального анализа, чтобы доказать существование $c, t_{0}$ таких, что $\left\| P_{t}\right\| \leq c$, если $t \leq t_{0}$. Затем используйте полугрупповое свойство.