Банк задач по математике

Задача 36.1

Предположим, что $P_t$ — семейство суб-марковских переходных вероятностей, и определим $\bar{P}_t$ по формуле (36.12). Покажите, что $P_t$ является семейством марковских переходных вероятностей. Покажите, что $\mathbb {P}^{\Delta }\left(X_t \neq \Delta \right.$ для некоторого $\left.t>0\right)=0$ , т.е., начав в точке $\Delta$ , процесс остаётся там навсегда.

?

Задача 36.2

Покажите, что если $P_t(x, A)$ определено формулой (19.17), а $P_t f(x)=\int f(y) P_t(x, d y)$ , то $P_t$ отображает $C_0$ в $C_0$ .

?

Задача 36.3

Покажите, что (36.14) равно (36.15).

?

Задача 36.4

Покажите, что $P_t$ , определённое формулой (36.13), удовлетворяет всем пунктам Предположения 36.1.

?

Задача 36.5

(1)(2)

Предположим, что $\left\{ \mu_t, t \geq 0\right\}$ — плотное семейство вероятностных мер на вещественной прямой. Предположим, что существует функция $\psi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ такая, что преобразования Фурье мер $\mu_t$ имеют следующий вид:

\int e^{i u x} \mu _t(d x)=e^{t \psi (u)}, \quad t \geq 0, u \in \mathbb {R} .

?

(1)

Докажите, что $\mu_t$ слабо сходится к $\mu_0$ при $t \rightarrow 0$ . Заметьте, что $\mu_0$ совпадает с единичной массой в точке 0.

(2)

Определим операторы $P_t$ формулой

P_t f(x)=\int f(x-y) \mu _t(d y) \text{. }

Докажите, что $P_t$ образуют сильно непрерывную полугруппу сжимающих операторов, отображающую $C_0$ в $C_0$ . Заключите, что существует сильный марковский процесс, полугруппа которого задаётся операторами $P_t$ .

Эта полугруппа называется свёрточной полугруппой, поскольку $\mu_{t+s}=\mu_t * \mu_s$ в смысле свёртки мер. Далее мы увидим, что такие полугруппы связаны с процессами Леви.

Полугруппы