Приложения слабой сходимости

Докажите лемму 35.8.

Лемма 35.8: Предположим, что $S_{n}$ — биномиальная случайная величина с параметрами $n$ и $p$. Тогда существует константа $c$, не зависящая от $n$ или $p$, такая что

и

Докажите, что конечномерные распределения $Z_{n}$ в теореме 35.10 сходятся к распределениям броуновского моста.

Постановка: пусть $X_{i}, i=1, \ldots , n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$, пусть $F_{n}(t)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \; \mathbb {1}_{[0, t]}\left(X_{i}\right)$ — эмпирический процесс, и пусть

Теорема 35.10: $Z_{n}$ слабо сходится к броуновскому мосту относительно топологии $D[0,1]$.

Если $W_{t}^{0}$ — броуновский мост, докажите, что $Y_{t}=W_{1-t}^{0}$ также является броуновским мостом.

Пусть $t_{0}<1$. СДУ (35.5) имеет единственное решение, когда $X_{0}=0$ заменяется на $X_{0}=x$. Пусть $\mathbb {P}[x]$ — закон распределения решения при $X_{0}=x$, и пусть $Z_{t}$ — канонический процесс. Покажите, что $\left(Z_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ не является марковским процессом.

Пусть $N_{t}(A)$ — точечный пуассоновский процесс относительно пространства с мерой $(\mathcal{S}, m)$, и пусть $A_{s}, s>0$ — возрастающая последовательность подмножеств $\mathcal{S}$ с $m\left(A_{s}\right) \rightarrow \infty$ при $s \rightarrow \infty$. Сходится ли

слабо относительно $D[0,1]$ при $s \rightarrow \infty$? Каков предел?

Это может быть применено для получения центральных предельных теорем для числа пересечений сверху вниз броуновского движения, например.

В этом упражнении требуется доказать, что пуассоновский процесс, обусловленный тем, что он равен $n$ в момент времени 1, имеет тот же закон распределения, что и $n$, умноженное на эмпирический процесс. Вот точная формулировка. Предположим, что $P_{t}$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda >0$. Пусть $\mathbb {Q}$ — закон распределения $\left\{ P_{t}, t \in [0,1]\right\}$, обусловленный тем, что $P_{1}=n$. Таким образом, $\mathbb {Q}$ — вероятностная мера на $D[0,1]$, для которой

Поскольку $\left(P_{1}=n\right)$ — событие с положительной вероятностью, определение этих условных вероятностей не вызывает затруднений. Докажите, что $\mathbb {Q}$ также является законом распределения $\left\{ n F_{n}(t), t \in [0,1]\right\}$, где $F_{n}$ определено в разделе 35.3.