Пространство D[0, 1]

Покажите, что пространство $D$ с метрикой $\rho$ сепарабельно.

Пусть $f_{n}=\; \mathbb {1}_{[1 / 2,1 / 2+1 / n)}$. Покажите, что это последовательность Коши относительно $\rho$, но она не сходится к элементу $D$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ не является последовательностью Коши относительно $d$.

Покажите, что (относительно топологии на $D$) подмножество $C[0,1]$ пространства $D$ нигде не плотно.

Рассмотрим $D$ с метрикой $d_{\text{sup }}(f, g)=\sup_{t \in [0,1]}|f(t)-g(t)|$. Покажите, что $D$ не сепарабельно относительно метрики $d_{\text{sup }}$.

Предположим, что $\mathbb {P}$ и $\mathbb {P}^{\prime }$ — меры, сосредоточенные на $D[0,1]$, совпадающие на всех цилиндрических подмножествах $D[0,1]$. Другими словами, все конечномерные распределения совпадают. Докажите, что $\mathbb {P}=\mathbb {P}^{\prime }$ на $D[0,1]$.

Покажите, что следующие функции непрерывны на пространстве $D[0,1]$.

Пусть $P$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Докажите, что

слабо сходится относительно топологии $D[0,1]$ при $n \rightarrow \infty$ к броуновскому движению.

Предположим, что $X_{n}$ слабо сходится к $X$ относительно топологии $C[0,1]$. Докажите, что $X_{n}$ слабо сходится к $X$ относительно топологии $D[0,1]$.

Если $n$ достаточно велико, так что $n^{-1}<\delta$, то

Следовательно, $V_{n}-Z_{n}$ сходится к 0 по вероятности, и по упражнению 30.2 подпоследовательные предельные точки $V_{n}$ те же, что и у $Z_{n}$.

Осталось показать, что любая подпоследовательная предельная точка $Z_{n}$ является броуновским мостом. Это следует из многомерной центральной предельной теоремы для мультиномиальных распределений (см. замечание A.57) и оставляется в качестве упражнения 35.2.

Это утверждение, обратное теореме 34.6. Пусть $A$ — множество индексов, и предположим, что совокупность функций $\left\{ f_{\alpha }, f \in A\right\}$ предкомпактна в $D[0,1]$, то есть её замыкание компактно.