Пространство C[0, 1]

Носителем меры $\lambda$ называется наименьшее замкнутое множество $F$, такое что $\lambda \left(F^{c}\right)=0$. Пусть $\mathbb {P}$ — винеровская мера на $C[0,1]$, то есть закон распределения броуновского движения на $[0,1]$. Используя упражнение 13.4, докажите, что носитель $\mathbb {P}$ есть всё $C[0,1]$.

Пусть $(\mathcal{S}, d)$ — полное сепарабельное метрическое пространство, и пусть $\mathcal{R}$ — подмножество $\mathcal{S}$. Тогда $(\mathcal{R}, d)$ также является метрическим пространством. Если $X_{n}$ слабо сходится к $X$ относительно топологии $(\mathcal{S}, d)$ и каждая $X_{n}$ и $X$ принимают значения в $\mathcal{R}$, сходится ли $X_{n}$ слабо к $X$ относительно топологии $(\mathcal{R}, d)$? Меняется ли ответ, если $\mathcal{R}$ — замкнутое подмножество $\mathcal{S}$?

Если $X_{n}$ и $X$ принимают значения в $\mathcal{R}$ и $X_{n}$ слабо сходится к $X$ относительно топологии $(\mathcal{R}, d)$, сходится ли $X_{n}$ слабо к $X$ относительно топологии $(\mathcal{S}, d)$? Что если $\mathcal{R}$ — замкнутое подмножество $\mathcal{S}$?

Приведите доказательство теоремы 32.2, используя (32.7) вместо теоремы 8.1.

Предположим, что $(X, W, \mathbb {P})$ — слабое решение уравнения

где $W$ — одномерное броуновское движение, а $\sigma$ и $b$ ограничены и непрерывны, но мы не предполагаем, что $\sigma$ ограничена снизу положительной константой. Предположим, что решение уравнения (32.8) единственно по распределению.

Предположим, что $\sigma_{n}$ и $b_{n}$ — липшицевы функции, равномерно ограниченные и равномерно сходящиеся к $\sigma$ и $b$ соответственно. Пусть $X_{t}(n)$ — единственное потраекторное решение уравнения

где вероятностная мера здесь — $\mathbb {P}$. Докажите, что $X(n)$ слабо сходится к $X$ относительно $C[0,1]$.

Пусть $W$ — $d$-мерное броуновское движение, и пусть $\left\{ X_{t}, t \in [0,1]\right\}$ — решение уравнения (24.22). Если $x \in \mathbb {R}^{d}$, докажите, что носитель $\mathbb {P}[x]$ есть всё $C[0,1]$.