31

Представление Скорохода

[6/0%]
LaTeX
Задача 31.1

Предположим, что ff ограничена, XnX_{n} слабо сходится к XX, и, кроме того, P(X∈Df)=0\mathbb {P}\left(X \in D_{f}\right)=0, где Df={x:f не является непрерывной в точке x}D_{f}=\left\{ x: f \text{ не является непрерывной в точке } x\right\}. Покажите, что f(Xn)f\left(X_{n}\right) слабо сходится к f(X)f(X).

?
Задача 31.2

Предположим, что последовательность {Xn}\left\{ X_{n}\right\} равномерно интегрируема и XnX_{n} слабо сходится к XX. Покажите, что E[Xn]→E[X]\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X\right].

?
Задача 31.3

Приведите пример последовательности случайных величин XnX_{n}, слабо сходящейся к XX, где каждая XnX_{n} интегрируема, но XX не интегрируема.

?
Задача 31.4

Предположим, что XnX_{n} слабо сходится к XX и каждая XnX_{n} неотрицательна. Докажите, что

E[X]≤lim inf⁡n→∞E[Xn] \mathbb {E}\left[X\right] \leq \liminf _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X_{n}\right]
?
Задача 31.5

Предположим, что XnX_{n} слабо сходится к XX и каждая XnX_{n} обладает свойством: с вероятностью единица

∣Xn(t)−Xn(s)∣≤∣t−s∣,s,t≤1 \left|X_{n}(t)-X_{n}(s)\right| \leq |t-s|, \quad s, t \leq 1

(Это может возникнуть, например, если каждая XnX_{n} имеет вид Xn(t)=∫0tYn(s)dsX_{n}(t)=\int_{0}^{t} Y_{n}(s) d s и каждая YnY_{n} ограничена единицей.) Докажите, что XX обладает тем же свойством, то есть с вероятностью единица

∣X(t)−X(s)∣≤∣t−s∣,s,t≤1 |X(t)-X(s)| \leq |t-s|, \quad s, t \leq 1
?
Задача 31.6

Вот способ доказать одно из направлений теоремы Лебега о риманово интегрируемых функциях.

?
(1)

Для каждого n≥1n \geq 1 и каждого i≤ni \leq n пусть xinx_{i n} — точка в [(i−1)/n,i/n)[(i-1) / n, i / n). Пусть Pn\mathbb {P}_{n} — вероятностная мера, приписывающая массу 1/n1 / n каждой точке xin,i=1,2,…,nx_{i n}, i=1,2, \ldots , n. Покажите, что Pn\mathbb {P}_{n} слабо сходится к P\mathbb {P}, где P\mathbb {P} — мера Лебега на [0,1][0,1].

(2)

Предположим, что ff — ограниченная функция, непрерывная почти в каждой точке [0,1][0,1]. Покажите, что ∫fdPn→∫fdP\int f d \mathbb {P}_{n} \rightarrow \int f d \mathbb {P}. Заметьте, что ∫fdPn\int f d \mathbb {P}_{n} является римановой суммой, аппроксимирующей ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) d x.