Сходимость вероятностных мер

Если $\mathcal{S}$ — метрическое пространство, то хорошо известно, что $C(\mathcal{S})$, совокупность непрерывных функций с метрикой

является метрическим пространством. Покажите, что если $\mathcal{S}$ компактно, то $C(\mathcal{S})$ сепарабельно.

Предположим, $X_{n}$ слабо сходится к $X$, а случайные величины $Z_{n}$ таковы, что $d\left(X_{n}, Z_{n}\right)$ сходится к 0 по вероятности. Докажите, что $Z_{n}$ слабо сходится к $X$. Это утверждение известно как теорема Слуцкого.

Указание: начните с $\mathbb {P}\left(Z_{n} \in F\right) \leq \mathbb {P}\left(X_{n} \in \overline{F_{\delta }}\right)+\mathbb {P}\left(d\left(X_{n}, Z_{n}\right) \geq \delta \right)$.

Предположим, $X_{n}$ принимают значения в нормированном линейном пространстве и слабо сходятся к $X$. Предположим, $c_{n}$ — скаляры, сходящиеся к $c$. Покажите, что $c_{n} X_{n}$ слабо сходится к $c X$.

Приведите пример последовательности $\mathbb {P}_{n}$, слабо сходящейся к $\mathbb {P}$, и функции $f$, непрерывной, но неограниченной, такой что $\int f d \mathbb {P}_{n}$ не сходится к $\int f d \mathbb {P}$.

Приведите пример последовательности $\mathbb {P}_{n}$, слабо сходящейся к $\mathbb {P}$, и функции $f$, ограниченной, но не непрерывной, такой что $\int f d \mathbb {P}_{n}$ не сходится к $\int f d \mathbb {P}$.

Покажите, что если $X_{n}$ слабо сходится к $X$, а $Y_{n}$ сходится по вероятности к 0, то $X_{n} Y_{n}$ сходится по вероятности к 0.

В этом упражнении рассматривается последовательность вероятностных мер, обладающих плотностями. Предположим, что $\mathcal{S}$ снабжено борелевской $\sigma$-алгеброй, а $\mu$ — мера на $\mathcal{S}$. Предположим, что $f_{n}: \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty )$ и $f: \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty )$ — измеримые функции, интеграл каждой из которых по $\mathcal{S}$ равен единице, и определим $\mathbb {P}_{n}(A)=\int_{A} f_{n}(x) \mu (d x)$ для каждого $n$ и $\mathbb {P}\left(A\right)=\int_{A} f(x) \mu (d x)$.

Приведите пример непрерывных процессов $X_{n}$ и $X$ таких, что все конечномерные распределения $X_{n}$ слабо сходятся к соответствующим конечномерным распределениям $X$, но $X_{n}$ не сходится слабо к $X$ относительно топологии $C[0,1]$.

Предположим, $X$ — случайная величина, принимающая значения в полном сепарабельном метрическом пространстве. Если $\varepsilon >0$, покажите, что существует компактное множество $K$ такое, что $\mathbb {P}\left(X \notin K\right)<\varepsilon$.

Указание: для каждого $n$ выберите замкнутые шары $\left\{ B_{n i}, i=1, \ldots , N_{n}\right\}$ такие, что

Тогда $K=\cap_{n=1}^{\infty } \cup_{i=1}^{N_{n}} B_{n i}$ вполне ограничено, а значит компактно.

Предположим, $X_{n}$ слабо сходится к $X$, а метрическое пространство $\mathcal{S}$ полно и сепарабельно. Докажите, что последовательность $\left\{ X_{n}\right\}$ плотна (tight).

Пусть $\mathcal{L}$ — совокупность непрерывных функций на $\mathcal{S}$, таких что

1. $\sup_{x \in \mathcal{S}}|f(x)| \leq 1$.

2. $|f(x)-f(y)| \leq d(x, y)$ для всех $x, y \in \mathcal{S}$.

Определим

Покажите, что $d_{\mathcal{L}}$ является метрикой на совокупности вероятностных мер на борелевской $\sigma$-алгебре пространства $\mathcal{S}$. Докажите, что последовательность вероятностных мер $\mathbb {P}_{n}$ слабо сходится к $\mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда $d_{\mathcal{L}}\left(\mathbb {P}_{n}, \mathbb {P}\right) \rightarrow 0$.

Предположим, что $\mathcal{S}$ — сепарабельное метрическое пространство. Покажите, что $\mathcal{M}$ сепарабельно.