Мартингалы

Если $W$ — броуновское движение, покажите, что

является мартингалом.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — поток $\sigma$-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям. Покажите, что если $M_{t}$ — субмартингал и $\mathbb {E}\left[M_{t}\right]=\mathbb {E}\left[M_{0}\right]$ для всех $t$, то $M$ — мартингал.

Пусть $X$ — субмартингал. Покажите, что $\sup_{t \geq 0} \mathbb {E}\left[\left|X_{t}\right|\right]<\infty$ тогда и только тогда, когда $\sup_{t \geq 0} \mathbb {E}\left[X_{t}^{+}\right]<\infty$.

Докажите все утверждения предложения 3.8.

Предложение 3.8: Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ удовлетворяет обычным условиям. Тогда

1. $T$ является моментом остановки тогда и только тогда, когда $(T \leq t) \in \mathcal{F}_{t}$ для всех $t$.

2. Если $T=t$ п.н., то $T$ является моментом остановки.

3. Если $S$ и $T$ — моменты остановки, то таковыми же являются $S \vee T$ и $S \wedge T$.

4. Если $T_{n}, n=1,2, \ldots$ — моменты остановки с $T_{1} \leq T_{2} \leq \cdots$, то $\sup_{n} T_{n}$ также является моментом остановки.

5. Если $T_{n}, n=1,2, \ldots$ — моменты остановки с $T_{1} \geq T_{2} \geq \cdots$, то $\inf_{n} T_{n}$ также является моментом остановки.

6. Если $s \geq 0$ и $S$ — момент остановки, то $S+s$ также является моментом остановки.

Если $T_{n}$ определён формулой (3.2), покажите, что $T_{n}$ является моментом остановки при каждом $n$ и $T_{n} \downarrow T$.

Это упражнение даёт альтернативное определение $\mathcal{F}_{T}$, которое более привлекательно, но менее полезно. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ удовлетворяет обычным условиям. Покажите, что $\mathcal{F}_{T}$ равна $\sigma$-алгебре, порождённой совокупностью случайных величин $Y_{T}$, таких что $Y$ — ограниченный процесс с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева, и $Y$ согласован с потоком $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — поток $\sigma$-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям. Покажите, что если $T$ — момент остановки, то $T$ измерима относительно $\mathcal{F}_{T}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — поток $\sigma$-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям, и $T$ — момент остановки. Покажите, что если $S$ — случайная величина, измеримая относительно $\mathcal{F}_{T}$, с $S \geq T$, то $S$ является моментом остановки.

Это упражнение демонстрирует, что вывод следствия 3.13 нельзя распространить на субмартингалы. Найдите поток $\sigma$-алгебр $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, удовлетворяющий обычным условиям, и субмартингал $X$ относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ такой, что $X$ не имеет версии с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — поток $\sigma$-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям. Покажите, что если $S$ и $T$ — моменты остановки, а $X$ — ограниченная случайная величина, измеримая относительно $\mathcal{F}_{\infty }$, то

Указание: пусть $Y_{t}=\mathbb {E}\left[X \mid \mathcal{F}_{t}\right]$ и $Z_{t}=Y_{t \wedge S}$. Покажите, что левая часть равна $Y_{S \wedge T}$.

Мартингал или субмартингал $M_{t}$ называется равномерно интегрируемым, если семейство $\left\{ M_{t}: t \geq 0\right\}$ является равномерно интегрируемым семейством случайных величин. Покажите, что если $M_{t}$ — равномерно интегрируемый мартингал с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева, то $\left\{ M_{T} ; T\right.$ — конечный момент остановки$\}$ является равномерно интегрируемым семейством случайных величин. Покажите, что это также верно, если $M_{t}$ — неотрицательный субмартингал с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева.

Это упражнение ослабляет условия теоремы об опциональной остановке. Покажите, что если $M_{t}$ — равномерно интегрируемый мартингал, непрерывный справа с пределами слева, и $T$ — конечный момент остановки, то $\mathbb {E}\left[M_{T}\right]=\mathbb {E}\left[M_{0}\right]$.

Пусть $W$ — броуновское движение и пусть $T$ — момент остановки с $\mathbb {E}\left[T\right]<\infty$. Докажите, что $\mathbb {E}\left[W_{T}\right]=0$ и $\mathbb {E}\left[W_{T}^{2}\right]=\mathbb {E}\left[T\right]$. Это не является простым применением теоремы об опциональной остановке, поскольку мы не знаем, что $W_{t \wedge T}$ обязательно является равномерно интегрируемым мартингалом.

Предположим, что $\left(W_{t}^{1}, \ldots , W_{t}^{d}\right)$ — это $d$-мерное броуновское движение. Покажите, что если $i \neq j$, то $W_{t}^{i} W_{t}^{j}$ является мартингалом.

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение, $b>0$, и $T=\inf \left\{ t>0: W_{t}=b\right\}$. Покажите, что $T<\infty$ п.н. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T\right]=\infty$.

Указание: Возьмите предел в (3.11).

Предположим, что $W$ — броуновское движение и $b>0$. Если $S=\inf \left\{ t>0: W_{t}=b\right\}$, покажите, что преобразование Лапласа плотности $S$ задаётся формулой

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение. Покажите, что если $\alpha >1 / 2$, то

Указание: Пусть $\alpha_{0} \in (1 / 2, \alpha )$, оцените

используя (3.9), а затем используйте лемму Бореля-Кантелли.

Пусть $W_{t}$ — одномерное броуновское движение и $\alpha \in (0,1 / 2]$. Докажите, что

Если $W$ — броуновское движение и $b$ — константа, то процесс $X_{t}=W_{t}+b t$ является броуновским движением со сносом. Докажите, что если $b>0$, то