29

Фильтрация

[5/0%]
LaTeX
Задача 29.1

Обоснуйте первое равенство в (29.4).

?
Задача 29.2

Покажите, что если MtM_t — мартингал относительно {FtX}\left\{ \mathcal{F}_t^X\right\}, то M^t\widehat{M}_t — мартингал относительно {FtZ}\left\{ \mathcal{F}_t^Z\right\}.

?
Задача 29.3

Пусть WW — броуновское движение и {Ft}\left\{ \mathcal{F}_t\right\} — его минимальная пополненная фильтрация. Пусть TT — ограниченный момент остановки относительно {Ft}\left\{ \mathcal{F}_t\right\}. Пусть YY — FT\mathcal{F}_T-измеримая случайная величина с E[Y2]<∞\mathbb {E}\left[Y^2\right]<\infty. Покажите, что существует предсказуемый процесс HsH_s с E[∫0THs2ds]<∞\mathbb {E}\left[\int_0^T H_s^2 d s\right]<\infty такой, что Y=E[Y]+∫0THsdWsY=\mathbb {E}\left[Y\right]+\int_0^T H_s d W_s п.н.

?
Задача 29.4
?
(1)

Покажите, что решение (29.9) является гауссовским процессом.

(2)

Покажите, что решения (Xt,Zt)\left(X_t, Z_t\right) уравнений (29.9)--(29.10) образуют гауссовский процесс.

Задача 29.5
?
(1)

Покажите, что если XX — нормальная случайная величина со средним μ\mu и дисперсией σ2\sigma^2, то

E[X3]=μ(μ2+3σ2).  \mathbb {E}\left[X^3\right]=\mu \left(\mu ^2+3 \sigma ^2\right) \text{. }
(2)

Покажите, что если X,Y1,…,YnX, Y_1, \ldots , Y_n — совместно нормальные случайные величины, то

E[X3∣Y1,…,Yn]=E[X∣Y1,…,Yn](E[X∣Y1,…,Yn]2+3Var⁡[X∣Y1,…,Yn]), \begin{aligned} \mathbb {E}\left[X^3 \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]= & \mathbb {E}\left[X \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]\left(\mathbb {E}\left[X \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]^2\right. \\ & \left.+3 \operatorname {Var}\left[X \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]\right), \end{aligned}

где

Var⁡[X∣Y1,…,Yn]=E[(X−E[X∣Y1,…,Yn])2∣Y1,…,Yn]. \operatorname {Var}\left[X \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]=\mathbb {E}\left[\left(X-\mathbb {E}\left[X \mid Y_1, \ldots , Y_n\right]\right)^2 \mid Y_1, \ldots , Y_n\right] .
(3)

Покажите, что

Xt3^=X^t((X^t)2+3Var⁡(Xt∣FtZ)), \widehat{X_t^3}=\widehat{X}_t\left(\left(\widehat{X}_t\right)^2+3 \operatorname {Var}\left(X_t \mid \mathcal{F}_t^Z\right)\right),

где

Var⁡(Xt∣FtZ)=E[(Xt−X^t)2∣FtZ]=Xt2^−(X^t)2. \operatorname {Var}\left(X_t \mid \mathcal{F}_t^Z\right)=\mathbb {E}\left[\left(X_t-\widehat{X}_t\right)^2 \mid \mathcal{F}_t^Z\right]=\widehat{X_t^2}-\left(\widehat{X}_t\right)^2 .