Финансовая математика

Пусть

— функция кумулятивного нормального распределения. Перепишите формулу Блэка--Шоулза для стоимости европейского колл-опциона через $\Phi$. Именно в таком виде формула Блэка--Шоулза записывается в книгах по финансам.

Европейский пут-опцион, дающий право продать акцию по цене $K$ в момент $t_{E}$, имеет стоимость $\left(K-S_{t_{E}}\right)^{+}$ в момент $t_{E}$. Найдите сегодняшнюю (в момент 0) стоимость этого европейского пут-опциона.

Проведите детали доказательства теоремы 28.1 для случая 2.

Если функция полезности из раздела 28.4 равна $U(x)=\log x$ вместо $U(x)=x^{p}$, каков оптимальный выбор $u$?

Пусть $a, b>0$, пусть $Y_{i}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, принимающие только значения $b$ и $-a$, и пусть $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}$. Покажите, что если $\mathbb {P}\left(Y_{1}=b\right)>0$ и $\mathbb {P}\left(Y_{1}=-a\right)>0$, то существует вероятностная мера $\mathbb {Q}$, эквивалентная $\mathbb {P}$, относительно которой $S_{n}$ является мартингалом. Опишите производную Радона--Никодима меры $\mathbb {Q}$ по $\mathbb {P}$.

Предположим, процентная ставка $r$ равна 0, и опцион $V$ имеет выплату

в момент $t_{e}$. Какова цена $V$ в момент 0?

Предположим, процентная ставка $r$ равна 0. Пусть $U$ — опцион, выплачивающий $-\inf_{s \leq t_{e}} S_{s}$ в момент $t_{e}$. Какова цена $U$ в момент 0?

Если $V$ как в упражнении 28.6, то $U+V$ — это опцион, выплачивающий разность между максимумом и минимумом цены акции, иными словами, «купить дёшево, продать дорого». Естественно, такой опцион был бы дорогим. Примечательно, что существует торговая стратегия, способная воспроизвести эту выплату, хотя моменты достижения максимума и минимума не являются моментами остановки.