Банк задач по математике

Задача 27.1

Пусть $W$ — броуновское движение, $x>0$ , и $T=\inf \left\{ t>0: W_{t}=x\right\}$ . Если $L_{t}^{x}$ — локальное время в точке $x$ , покажите, что распределение $L_{T}^{x}$ является показательной случайной величиной. Определите параметр этой показательной случайной величины.

?

Задача 27.2

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение. Это упражнение просит вас доказать, что нормализованное число пересечений снизу вверх (даункроссингов) к моменту времени $t$ сходится к локальному времени в 0. Если $a>0$ , пусть $S_{0}=0$ , $T_{0}=\inf \left\{ t: W_{t}=a\right\}$ , и для $i \geq 1$

S_{i}=\inf \left\{ t>T_{i-1}: W_{t}=0\right\} , \quad T_{i}=\inf \left\{ t>S_{i}: W_{t}=a\right\}

Тогда $D_{t}(a)$ , число даункроссингов до момента времени $t$ , определяется как $\sup \left\{ k: S_{k} \leq t\right\}$ . Докажите, что существует константа $c$ такая, что

\lim _{a \rightarrow 0} a D_{t}(a)=c L_{t}^{0}, \quad \text{ п.н. }

где $L_{t}^{0}$ — локальное время в 0 процесса $W$ . Определите $c$ .

Указание: используйте Упражнение 18.5.

?

Задача 27.3

(1)(2)

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — броуновское движение.

?

(1)

Используя принцип отражения, найдите

\mathbb {P}_{0}\left(X_{s}>-a \text{ для всех } s \leq r\right) .

Это то же самое, что $\mathbb {P}_{a}\left(T_{0}>r\right)$ , где $T_{0}$ — момент первого попадания броуновского движения в 0.

(2)

Пусть

A(a, r)=\left\{ f \in \mathcal{E}: \sup f(t)>a, \sigma _{f}>r\right\} , \quad B(r)=\left\{ f \in \mathcal{E}: \sigma _{f}>r, \sup f(t)>0\right\} ,

и

C(a)=\left\{ f \in \mathcal{E}: \sup f(t)>a\right\} .

Докажите, что

m(B(r))=\lim _{a \rightarrow 0} m(A(a, r))=\lim _{a \rightarrow 0}\left[m(C(a)) \times \mathbb {P}_{a}\left(T_{0}>r\right)\right]

и, используя это и пункт (1), вычислите $m(B(r))$ . По симметрии, $m\left(\left\{ f \in \mathcal{E}: \sigma_{f}>r\right\} \right)$ будет вдвое больше значения $m(B(r))$ .

Примечание.

?

Пусть $\mathcal{E}$ — совокупность непрерывных функций $f$ с областью определения $[0, \infty )$ , для которых существует положительное вещественное число $\sigma_{f}$ такое, что $f(0)=0$ , $f\left(\sigma_{f}\right)=0$ , $f(t) \neq 0$ при $t \in \left(0, \sigma_{f}\right)$ , и $f(t)=0$ при $t>\sigma_{f}$ (снабжённая супремум-нормой). Для борелевского подмножества $A$ пространства $\mathcal{E}$ говорят, что броуновское движение $W$ совершило блуждание (экскурсию) в $A$ к моменту $t$ , если существуют момент времени $u$ и функция $f \in A$ такие, что $u+\sigma_{f} \leq t$ и $W_{u+s}(\omega )=f(s)$ для всех $s \leq \sigma_{f}$ . Пусть $K_{t}(A)$ — число экскурсий $W$ в $A$ к моменту $t$ . При $T_{r}=\inf \left\{ t>0: L_{t}^{0} \geq r\right\}$ и $N_{r}(A)=K_{T_{r}}(A)$ мера экскурсий определяется как $m(A)=\mathbb {E}_{0}\left[N_{1}(A)\right]$ .

Задача 27.4

Пусть $W$ — броуновское движение. Пусть $E_{t}(r)$ — число экскурсий длины больше $r$ , завершившихся к моменту $t$ . Экскурсия длины больше $r$ означает, что $\sigma_{f}>r$ . Покажите, что существует константа $c$ такая, что

\lim _{r \rightarrow 0} \sqrt{r} E_{t}(r)=c L_{t}^{0}, \quad \text{ п.н. }

Найдите $c$ .

Интересно отметить, что это показывает, что $L_{t}^{0}$ полностью определяется нулевым множеством $Z(\omega )=\left\{ t: W_{t}(\omega )=0\right\}$ .

?

Задача 27.5

Пусть $\delta >0$ и $A_{\delta }=\left\{ f \in \mathcal{E}: \sup_{t}\left|f(t)\right|>\delta \right\}$ . Пусть $S_{1}=\inf \left\{ t: K_{t}\left(A_{\delta }\right)=1\right\}$ и $S_{2}=\inf \left\{ t>S_{1}: K_{t}\left(A_{\delta }\right)=2\right\}$ . Таким образом, $S_{1}$ и $S_{2}$ — моменты завершения первой и второй экскурсий в $A_{\delta }$ . Пусть $Y_{1}(t)$ — экскурсия, завершившаяся в момент $S_{1}$ , и аналогично определим $Y_{2}(t)$ . Точнее, если $R_{1}=\sup \left\{ t<S_{1}: W_{t}=0\right\}$ , то $Y_{1}(s)=W_{R_{1}+s}$ , если $s \leq S_{1}-R_{1}$ , и $Y_{1}(s)$ равно 0 для всех $s \geq S_{1}-R_{1}$ .

Докажите, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ независимы.

Указание: используйте строго марковское свойство в момент $S_{1}$ .

?

Экскурсии броуновского движения