Теоремы Рэя–Найта

Пусть $f$ — неотрицательная непрерывная функция, носитель которой $[a, b]$ является подмножеством $(0,1)$. Покажите, что существует единственное решение обыкновенного дифференциального уравнения $F^{\prime \prime }(x)=2 F(x) f(x)$, $F(1)=1, F^{\prime }(1)=0$, такое, что $F$ всюду положительна и $F$ ограничена на $[0, \infty )$.

Указание: поскольку $f$ равна нулю на $(b, \infty )$, то и $F^{\prime \prime }$ равна там нулю, а значит, имеет вид $F(x)=A x+B$ для некоторых $A$ и $B$ при $x \geq b$. Поскольку $F^{\prime }(1)=0$, заключите, что $A$ равно 0.

Предположим, что $X_{t}$ — решение одномерного СДУ

Предположим, что $\sigma$ и $b$ ограничены и непрерывны, а $f$ — ограниченная и непрерывная функция. Какому обыкновенному дифференциальному уравнению должна удовлетворять $H(x)$ (через $\sigma$, $b$ и $f$), чтобы

было мартингалом?

Предположим, что $X_{t}$ — решение одномерного СДУ

Предположим, что $\sigma$ и $b$ ограничены и непрерывны, а $f$ — ограниченная и непрерывная функция. Какому дифференциальному уравнению в частных производных должна удовлетворять $K(x, t))$ (через $\sigma$, $b$ и $f$), чтобы

было мартингалом?

Пусть $W$ — броуновское движение, а $L_{t}^{y}$ — локальное время на уровне $y$. Докажите, что локальные времена в фиксированный момент времени $t$ не образуют марковский процесс. То есть, пусть $t>0$ фиксировано, и покажите, что $\left(L_{t}^{y}, y \geq 0\right)$ не является марковским процессом по переменной $y$.

Пусть $S$ — первый момент выхода двумерного броуновского движения из единичного шара, и пусть $\psi (\lambda )=\mathbb {P}_{0}\left(S>\lambda \right)$. Если $W$ — одномерное броуновское движение с локальными временами $L_{t}^{x}$ и $T=\inf \left\{ t>0: W_{t}=1\right\}$, найдите распределение $Y=\sup_{0 \leq x \leq 1} L_{T}^{x}$ через $\psi$, то есть запишите $\mathbb {P}\left(Y \leq \lambda \right)$ через функцию $\psi$.

Предположим, что $x \in (0,1)$. При $W$ и $T$ таких же, как в Упражнении 26.5, найдите распределение $L_{T}^{x}$.

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение с локальными временами $L_{t}^{x}$. Пусть $T_{r}=\inf \left\{ t>0: L_{t}^{0}=r\right\}$. Закон процесса $x \rightarrow L_{T_{r}}^{x}$ можно описать следующим образом: