Банк задач по математике

Задача 25.1

Покажите, что слабое существование имеет место при условиях Предложения 25.3.

?

Задача 25.2

Покажите, что слабое существование имеет место при условиях Предложения 25.4.

?

Задача 25.3

Вот пример СДУ, для которого слабая единственность не выполняется. Пусть $W$ — одномерное броуновское движение и $\alpha \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ . Пусть $\sigma (x)=1 \wedge \left|x\right|^{\alpha }$ . Найдите два решения уравнения

d X_{t}=\sigma \left(X_{t}\right) d W_{t}

которые не равны по распределению.

Указание: одно из решений — тождественно нулевое. Другое можно построить, произведя замену времени в броуновском движении посредством обратной функции к возрастающему процессу

2 \int _{0}^{t}\left(1 \wedge \left|X_{s}\right|^{2 \alpha }\right)^{-1} d s

?

Задача 25.4

(1)(2)

?

(1)

Пусть $a_{s}$ и $b_{s}$ — ограниченные предсказуемые процессы, причём $a_{s}$ ограничен снизу положительной константой. Пусть $W$ — одномерное броуновское движение. Предположим, что $Y$ — одномерная семимартингал, такой что

d Y_{t}=a_{t} Y_{t} d W_{t}+b_{t} d t, \quad Y_{0}=0

Докажите, что если $t_{0}>0$ и $\varepsilon >0$ , существует константа $c>0$ , зависящая только от $t_{0}$ , $\varepsilon$ и границ для $a_{s}$ и $b_{s}$ , такая что

\mathbb {P}\left(\sup _{s \leq t_{0}}\left|Y_{s}\right|<\varepsilon \right)>c

(2)

Теперь пусть $W$ — $d$ -мерное броуновское движение, пусть $x \in \mathbb {R}^{d}$ , и пусть $\sigma$ — матричнозначная функция размера $d \times d$ , ограниченная и такая, что $\sigma \sigma^{T}(x)$ положительно определена равномерно по $x$ . То есть существует $\Lambda >0$ такое, что для всех $x$

\sum _{i, j=1}^{d} y_{i} y_{j}\left(\sigma (x) \sigma ^{T}(x)\right)_{i j} \geq \Lambda \sum _{i=1}^{d} y_{i}^{2}, \quad \left(y_{1}, \ldots , y_{d}\right) \in \mathbb {R}^{d}

Пусть $b$ — ограниченная матричнозначная функция размера $d \times 1$ . Пусть $X$ — решение уравнения

d X_{t}=\sigma \left(X_{t}\right) d W_{t}+b\left(X_{t}\right) d t, \quad X_{0}=x

Используя формулу Итô, найдите эквивалентное выражение для $\left|X_{t}-x\right|^{2}$ . Затем, используя (1), докажите, что если $t_{0}>0$ и $\varepsilon >0$ , существует константа $c>0$ , не зависящая от $x$ , такая что

\mathbb {P}_{x}\left(\sup _{s \leq t_{0}}\left|X_{s}-x\right|<\varepsilon \right)>c

Задача 25.5

Это теорема о носителе для решений СДУ. Пусть $X$ , $x$ , $\varepsilon$ и $t_{0}$ такие же, как в пункте (2) Упражнения 25.4. Предположим, что $\psi :\left[0, t_{0}\right] \rightarrow \mathbb {R}^{d}$ — непрерывная функция с $\psi (0)=x$ . Используя теорему Гирсанова, докажите, что существует $c>0$ такое, что

\mathbb {P}_{x}\left(\sup _{s \leq t_{0}}\left|X_{s}-\psi (s)\right|<\varepsilon \right)>c

?

Задача 25.6

Предположим, что слабая единственность имеет место для одномерного стохастического дифференциального уравнения

d X_{t}=\sigma \left(X_{t}\right) d W_{t}, \quad X_{0}=x \tag {25.8}

где $W$ — одномерное броуновское движение. Предположим также, что существует процесс $X^{\prime }$ , согласованный с минимальной пополненной фильтрацией $W$ , с $X_{0}^{\prime }=x$ и $d X_{t}^{\prime }=\sigma \left(X_{t}^{\prime }\right) d W_{t}$ . Докажите, что для (25.8) выполняется поточечная единственность.

Указание: покажите, что существует измеримое отображение $F$ из $C[0, \infty ) \rightarrow C[0, \infty )$ такое, что $X^{\prime }=F(W)$ . Если $X^{\prime \prime }$ — другое решение (25.8), то слабая единственность показывает, что распределения $\left(X^{\prime \prime }, W\right)$ и $\left(X^{\prime }, W\right)$ равны, следовательно $X^{\prime \prime }=F(W)=X^{\prime }$ .

?

Слабые решения СДУ