Стохастические дифференциальные уравнения

Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{t}$, определённая формулой (24.7), задаёт полное нормированное линейное пространство.

Предположим, что $g(t)$ неотрицательна и ограничена на каждом конечном подынтервале $[0, \infty )$. Предположим, что существуют константы $A$ и $B$, такие что

для каждого $t \geq 0$. Докажите, что $g(t) \leq A e^{B t}$ для всех $t \geq 0$. Этот результат известен как лемма Гронуолла.

Указание: Запишите

используйте (24.21), чтобы подставить вместо $g(r)$, и повторите итерацию.

Начальную точку в (24.1) можно считать случайной. Предположим, что $Y$ — случайная величина, измеримая относительно $\mathcal{F}_{0}$, $Y$ квадратично интегрируема, а $\sigma$ и $b$ ограничены и липшицевы. Докажите поточечное (пути) существование и единственность решения уравнения

Функции $\sigma$ и $b$ в (24.1) могут зависеть не только от пространственной переменной, но и от времени. Предположим, что $\sigma :[0, \infty ) \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, $b:[0, \infty ) \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничены и равномерно липшицевы по второй переменной: существует $c$, не зависящее от $s$, такое что $\left|\sigma (s, x)-\sigma (s, y)\right| \leq c\left|x-y\right|$ и аналогично для $b$. Докажите поточечное (пути) существование и единственность решения уравнения

Вот многомерный аналог (24.1). Пусть функции $\sigma_{i j}: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$, $1 \leq i, j \leq d$, ограничены и липшицевы, а $b_{i}: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$, $i=1, \ldots , d$, ограничены и липшицевы, $W^{j}$ — независимые одномерные броуновские движения, $x_{0}=\left(x_{0}^{(1)}, \ldots , x_{0}^{(d)}\right)$, и $X_{t}=\left(X_{t}^{(1)}, \ldots , X_{t}^{(d)}\right)$ удовлетворяет

для $i=1, \ldots , d$. Докажите поточечное существование и единственность для этой системы уравнений.

Пусть $f$ и $g$ отображают $[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, причём $\int_{0}^{\infty } f(t)^{2} d t<\infty$ и $\int_{0}^{\infty } g(t)^{2} d t<\infty$. Покажите, что $\int_{0}^{\infty } f(t) d W_{t}$ — гауссовская случайная величина с нулевым средним, то же самое для $f$, заменённого на $g$, и

Покажите, что если $W_{t}$ — $d$-мерное броуновское движение, то $\left|W_{t}\right|^{2}$ является квадратом бесселева процесса порядка $d$.

Докажите пункты (1), (3) и (4) Предложения 24.7.

Пусть $X$ — решение уравнения $d X_{t}=\sigma \left(X_{t}\right) d W_{t}+b\left(X_{t}\right) d t$, где $W$ — одномерное броуновское движение, $\sigma$ и $b$ — липшицевы непрерывные вещественнозначные функции, и $\left|\sigma (x)\right| \leq c(1+\left|x\right|)$ и $\left|b(x)\right| \leq c(1+\left|x\right|)$. Пусть $t_{0}>0$. Докажите, что если $p \geq 2$, то

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение, и пусть $X_{t}^{x}$ — решение уравнения

Предположим, что $\sigma$ и $b$ — функции класса $C^{\infty }$, и что $\sigma$, $b$ и все их производные ограничены. Покажите, что при каждом $t$ отображение $x \rightarrow X_{t}^{x}$ непрерывно по $x$ с вероятностью единица. Покажите, что это отображение дифференцируемо по $x$.

Предположим, что $A(t)$ и $B(t)$ — детерминированные функции от $t$. Найдите явное решение одномерного СДУ