Оптимальная остановка

Покажите, что если $f$ эксцессивна, то $1-e^{-f}$ также эксцессивна. Таким образом, для некоторых целей достаточно рассматривать ограниченные эксцессивные функции.

Покажите, что если $f$ и $g$ эксцессивны, то $f \wedge g$ также эксцессивна.

Пусть $A_{t}$ — аддитивный функционал (определённый в (22.4)), и пусть $f(x)=\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }\right]$. Покажите, что $f$ эксцессивна.

Пусть $f$ — эксцессивная функция для строго марковского процесса $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$. Пусть $\varepsilon >0$ и $S_{1}=\inf \left\{ t : \left|f\left(X_{t}\right)-f\left(X_{0}\right)\right| \geq \varepsilon \right\}$. Пусть $S_{i+1}=S_{i}+S_{1} \circ \theta_{S_{i}}$. Докажите, что $f\left(X_{S_{i}}\right)$ является супермартингалом относительно $\sigma$-алгебр $\mathcal{F}_{S_{i}}$ и относительно $\mathbb {P}[x]$ для каждого $x$.

Для каждого $n$ пусть $A_{t}^{n}$ — аддитивный функционал с непрерывными траекториями, и предположим, что $f_{n}(x)=\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }^{n}\right]$ конечно для каждого $x$. Пусть $A_{t}$ — непрерывный аддитивный функционал, для которого $f(x)=\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }\right]$ также конечно для каждого $x$. Предположим, что $f_{n}$ сходится к $f$ равномерно. Докажите, что для каждого $x$ с $\mathbb {P}[x]$-вероятностью единица $A_{t}^{n}$ сходится к $A_{t}$ равномерно по $t \geq 0$.

Указание: Используйте предложение 9.11.

Предположим, что $f$ ограничена и эксцессивна, $\lambda \geq 0$, и $A=\left\{ y: f(y) \leq \lambda \right\}$. Докажите, что если $x \in A^{r}$ (то есть $x$ регулярна для $A$), то $f(x) \leq \lambda$.

Указание: Используйте теорему о выборе сечений (теорема 16.12), чтобы найти моменты остановки $T_{m}$, графики которых содержатся в множестве $\left\{ (t, \omega ): t \leq 1 / m, f\left(X_{t}\right) \leq \lambda \right\}$ с $\mathbb {P}[x]$-вероятностью не менее $1-(1 / m)$.

Лемма 23.1: Если $f$ эксцессивна, то существуют функции $g_{n} \geq 0$ такие, что $U g_{n}$ возрастает до $f$, где $U g_{n}(x) = \mathbb {E}_{x}\left[\int_0^\infty g_n(X_s)\, ds\right]$.

Если $g_{n}$ таковы, как в лемме 23.1, запишем

Устремите $m \rightarrow \infty$, затем $n \rightarrow \infty$.

Предположим, что $f$ ограничена и эксцессивна, $\lambda \geq 0$, и $B=\left\{ y: f(y) \geq \lambda \right\}$. Докажите, что если $x \in B^{r}$, то $f(x) \leq \lambda$.

Указание: Используйте теорему об опциональной остановке, как в упражнении 23.6, чтобы найти моменты остановки $R_{m}$, аналогичные $T_{m}$. Запишите

а затем устремите $m \rightarrow \infty$.

Предположим, что $g$ неотрицательна, ограничена и непрерывна, и выполнено предположение 20.1. Пусть $g_{0}=g$ и определим $g_{n}(x)=\sup_{t \geq 0} P_{t} g_{n-1}(x)$ для $n \geq 1$. Докажите, что $g_{n}$ возрастает до наименьшей эксцессивной мажоранты $g$.