Преобразования марковских процессов

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — одномерное броуновское движение, $L_{t}^{x}$ — локальное время броуновского движения в точке $x$, и $m$ — конечная положительная мера на $\mathbb {R}$. Покажите, что $A_{t}=\int L_{t}^{x} m(d x)$ является аддитивным функционалом.

Рассмотрим пространственно-временной процесс. Пусть $V_{t}=V_{0}+t$. Процесс $V_{t}$ — это просто процесс, детерминированно возрастающий с единичной скоростью. Таким образом, $V_{t}$ может представлять время. Если $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс, покажите, что $\left(\left(X_{t}, V_{t}\right), \mathbb {P}[(x, v)]\right)$ также является марковским процессом. Обязательно ли $\left(\left(X_{t}, V_{t}\right), \mathbb {P}[(x, v)]\right)$ является строго марковским процессом, если $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс?

В некоторых приложениях полагают $V_{t}=V_{0}-t$, и время мыслится текущим в обратную сторону. Пространственно-временные процессы полезны при рассмотрении параболических дифференциальных уравнений в частных производных.

Предположим, что $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс, а $f$ — неотрицательная инвариантная функция для $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$. Обозначим $\mathbb {Q}^{x}$ через $\mathbb {P}_{f}^{x}$. Предположим, что $g$ — неотрицательная инвариантная функция для $\left(X_{t}, \mathbb {Q}^{x}\right)$. Покажите, что $f g$ — неотрицательная инвариантная функция для $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ и что $\mathbb {Q}_{g}^{x}=\mathbb {P}_{f g}^{x}$.

Предположим, что $A$ и $B$ — аддитивные функционалы марковского процесса, и $A$ и $B$ имеют непрерывные траектории. Докажите, что если $\mathbb {E}_{x}\left[A_{t}\right]=\mathbb {E}_{x}\left[B_{t}\right]$ для всех $x$ и $t$, то

для всех $x$.

Указание: Покажите, что $A_{t}-B_{t}$ является мартингалом.

Предположим, что $A$ и $B$ — аддитивные функционалы с непрерывными траекториями, и пусть $\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }\right]=\mathbb {E}_{x}\left[B_{\infty }\right]<\infty$ для каждого $x$. Покажите, что

для каждого $x$.

Указание: Если $f(x)=\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }\right]$, то

и аналогично с $B$ вместо $A$. Тогда $A-B$ является $\mathbb {P}[x]$-мартингалом для каждого $x$.

Пусть $A$ — аддитивный функционал с непрерывными траекториями. Предположим, что существует $K>0$ такое, что $\mathbb {E}_{x}\left[A_{\infty }\right] \leq K$ для каждого $x$. Докажите, что существует константа $c$, зависящая только от $K$, такая что

Приведём рассуждение о том, что закон броуновского движения при условии, что его максимум достигается на определённом уровне, — это процесс Бесселя порядка 3.

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение, убитое при попадании в 0. Пусть $S_{t}=\sup_{s \leq t} W_{s}$ — максимум. По упражнению 19.1, $X=(W, S)$ является марковским процессом. Определите закон $X$ при $t \leq L$, где $L$ — последний момент, когда $X$ попадает на диагональ. Чтобы более точно определить $L$, пусть $D=\left\{ (w, s): w=s, w>0\right\}$ и $L=\sup \left\{ t \geq 0: X_{t} \in D\right\}$. $L$ конечно почти наверное, поскольку $W$ попадёт в 0 за конечное время с вероятностью единица.