Приложения марковских свойств

Пусть $d=2$, $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — двумерное броуновское движение, и $r>0$. Повторите рассуждение из предложения 21.1, но с $h(x)=\log \left(\left|x\right|\right)$, чтобы показать, что $\mathbb {P}_{x}\left(X_{t} \text{ попадает в } B(0, r)\right)=1$ при $\left|x\right|>r$. Затем используйте строго марковское свойство, чтобы показать, что существуют моменты $T_{i} \rightarrow \infty$ с $X_{T_{i}} \in B(0, r)$. То есть двумерное броуновское движение окрестностно-рекуррентно.

В доказательстве леммы 21.4 обоснуйте каждое неравенство в (21.6).

Лемма 21.4: Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс с пространством состояний $\mathcal{S}$. Для всех $x \in \mathcal{S}$ и всех $\lambda \geq 0$

Из доказательства: полагая $F(t, \lambda )=\sup_{s \leq t} \sup_{y \in \mathcal{S}} \mathbb {P}_{y}\left(d\left(X_{s}, X_{0}\right) \geq \lambda \right)$ и $S=\inf \left\{ t: d\left(X_{t}, X_{0}\right) \geq \lambda \right\}$, по строго марковскому свойству получаем

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — пуассоновский процесс с параметром $a$, и пусть $F$ определено формулой (21.5). Покажите, что $F(t, 1 / 2) / t$ не стремится к 0 при $t \rightarrow 0$.

Пусть $d \geq 3$, $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — $d$-мерное броуновское движение, и

Покажите, что если $f$ ограничена, измерима и имеет компактный носитель, то $U f$ непрерывна и $\left|U f(x)\right| \rightarrow 0$ при $\left|x\right| \rightarrow \infty$. Покажите, что если $f \in C^{2}$ с компактным носителем, то $U f \in C^{2}$. Покажите, что $\frac{1}{2} \Delta U f=-f$.

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение, а $f$ — непрерывная функция. Докажите, что если $f\left(W_{t}\right)$ — субмартингал, то $f$ обязательно выпукла.

Докажите принцип максимума для гармонических функций. Он утверждает, что если $h$ гармонична в ограниченной области $D$, то

Если $W$ — $d$-мерное броуновское движение, начатое в 0, найдите $\mathbb {E}\left[T\right]$, где $T$ — первый момент, когда $W$ выходит из шара радиуса $r$ с центром в начале координат.

Подсказка: Используйте тот факт, что $\left|W_{t}\right|^{2}-d t$ является мартингалом.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция, для которой $\left|f(x)-f(y)\right| \leq \left|x-y\right|$ для всех $x, y \in \mathbb {R}$. Пусть $D_{\varepsilon }=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: f(x)<y<f(x)+\varepsilon \right\}$ для $\varepsilon \in (0,1)$. Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — двумерное броуновское движение, и пусть $\tau_{\varepsilon }=\inf \left\{ t: X_{t} \notin D_{\varepsilon }\right\}$. Докажите, что существует константа $c$, не зависящая от $\varepsilon$, такая что $\mathbb {E}_{0}\left[\tau_{\varepsilon }\right] \leq c \varepsilon^{2}$.

Указание: По упражнению 21.7 ожидаемое время выхода двумерного броуновского движения из шара радиуса $2 \varepsilon$ меньше $c \varepsilon^{2}$. Затем многократно примените строго марковское свойство в моменты $S_{i}$, где $S_{i}$ — первый момент после момента $S_{i-1}$, в который броуновское движение сместилось хотя бы на $2 \varepsilon$ от $X_{S_{i-1}}$.