Марковские свойства

Пусть $\mathcal{S}$ — локально компактное сепарабельное метрическое пространство, а $C_{0}$ — множество непрерывных функций на $\mathcal{S}$, обращающихся в нуль на бесконечности. Сказать, что непрерывная функция $f$ обращается в нуль на бесконечности, означает, что для любого $\varepsilon >0$ существует компактное множество $K$, такое что $\left|f(x)\right|<\varepsilon$, если $x \notin K$. Покажите, что если предположение 20.1 заменить предположениями о том, что $P_{t} f \in C_{0}$ всякий раз, когда $f \in C_{0}$, и $P_{t} f \rightarrow f$ равномерно при $t \rightarrow 0$ всякий раз, когда $f \in C_{0}$, то заключение теоремы 20.9 по-прежнему верно.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$. Предположим, что $\mathcal{E}_{t} \subset \mathcal{F}_{t}$ для каждого $t$ и что $X_{t}$ является $\mathcal{E}_{t}$-измеримым для каждого $t$. Покажите, что $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{E}_{t}\right\}$.

Приведите пример марковского процесса, не являющегося строго марковским процессом.

Подсказка: Пусть пространство состояний — $[0, \infty )$, и, начиная из $x \in (0, \infty )$, пусть $X$ движется детерминированно с постоянной скоростью вправо. Начиная из 0, пусть $X$ ждёт экспоненциально распределённое время, а затем начинает двигаться с постоянной скоростью вправо.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — броуновское движение, и пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация. Предположим, что $B \in \vee_{t \geq 0} \mathcal{F}_{t}$ и при некотором $s>0$ имеет вид $\; \mathbb {1}_{B}=\; \mathbb {1}_{A} \circ \theta_{s}$. Покажите, что если $B$ является $\mathbb {P}[x]$-нулевым множеством для некоторого $x$, то оно является $\mathbb {P}[x]$-нулевым множеством для каждого $x$.

Пусть $P_{t}$ — переходные вероятности пуассоновского процесса с параметром $\lambda$. Они определены в упражнении 19.3. Покажите, что предположение 20.1 выполняется.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс с переходными вероятностями $P_{t}$, $f$ — ограниченная борелевски измеримая функция, $t_{0}>0$, и определим $M_{t}=P_{t_{0}-t} f\left(X_{t}\right)$ при $t \leq t_{0}$. Покажите, что $\left(M_{t}, t \leq t_{0}\right)$ — $\mathbb {P}[x]$-мартингал для каждого $x$.

Используя закон 0--1 Блюменталя, покажите, что если $W$ — одномерное броуновское движение и $T=\inf \left\{ t>0: W_{t}>0\right\}$ — первый момент, когда броуновское движение попадает в $(0, \infty )$, то $\mathbb {P}\left(T=0\right)=1$.

Пусть $A$ — борелевское подмножество метрического пространства $\mathcal{S}$. Пусть $T_{A}=\inf \left\{ t: X_{t} \in A\right\}$, где $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс. Покажите, что $\mathbb {P}_{x}\left(T_{A}=0\right)$ равна либо 0, либо 1 для каждого $x$.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — строго марковский процесс, и пусть $A$ — борелевское подмножество $\mathcal{S}$. Определим $A^{r}$, полагая $A^{r}=\left\{ x: \mathbb {P}_{x}\left(T_{A}=0\right)=1\right\}$, где $T_{A}$ — момент первого попадания в $A$. Таким образом, $A^{r}$ — множество точек, регулярных относительно $A$. Докажите, что для каждого $x$