Броуновское движение

Пусть $W$ — броуновское движение на $[0,1]$. Пусть

Покажите, что $Y_{t}$ — броуновское движение на $[0,1]$.

Это упражнение показывает, что проекция $d$-мерного броуновского движения на гиперплоскость даёт одномерное броуновское движение. Пусть $\left(W_{t}^{(1)}, \ldots , W_{t}^{(d)}\right)$ — $d$-мерное броуновское движение, начатое из 0, и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{d} \in \mathbb {R}$ с $\sum_{i=1}^{d} \lambda_{i}^{2}=1$. Покажите, что $X_{t}=\sum_{i=1}^{d} \lambda_{i} W_{t}^{(i)}$ — одномерное броуновское движение, начатое из 0.

Это упражнение показывает, что вращение броуновского движения вокруг начала координат даёт снова броуновское движение. Пусть $W$ — $d$-мерное броуновское движение, начатое из 0, и пусть $A$ — ортогональная матрица размера $d \times d$, то есть $A^{-1}=A^{\mathrm{T}}$. Покажите, что $Y_{t}=A W_{t}$ снова является $d$-мерным броуновским движением.

Вот утверждение, обратное к упражнению 2.2: грубо говоря, если все проекции $d$-мерного процесса $X$ на гиперплоскости являются одномерными броуновскими движениями, то $X$ — $d$-мерное броуновское движение.

Пусть $\left(X_{t}^{1}, \ldots , X_{t}^{d}\right)$ — $d$-мерный непрерывный процесс, то есть принимающий значения в $\mathbb {R}^{d}$. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальный пополненный поток $\sigma$-алгебр, порождённый $X$. Предположим, что при любых $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{d} \in \mathbb {R}$ с $\sum_{i=1}^{d} \lambda_{i}^{2}=1$ процесс $\sum_{i=1}^{d} \lambda_{i} X_{t}^{i}$ является одномерным броуновским движением, начатым из 0 относительно потока $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$.

Пусть $W_{t}$ — броуновское движение, и предположим

Пусть $Z_{t}=t W_{1 / t}$ при $t>0$ и положим $Z_{0}=0$. (Это называется обращением времени.) Покажите, что $Z$ — броуновское движение. (Позже мы увидим, что предположение (2.5) излишне; см. теорему 7.2.)

Пусть $X$ и $Y$ — два независимых броуновских движения, начатых из 0, и пусть $t_{0}>0$. Пусть

Докажите, что $Z$ также является броуновским движением.

Пусть $\mathcal{F}_{t}^{00}$ и $\mathcal{F}_{t}^{0}$ определены как в (1.1) и (1.2). Докажите, что если $X$ измерима относительно $\mathcal{F}_{t}^{0}$, то существует $Z$ такое, что $Z$ измерима относительно $\mathcal{F}_{t}^{00}$ и $Y=Z$ п.н.

Пусть $\mathcal{F}_{t}^{00}$ и $\mathcal{F}_{t}^{0}$ определены как в (1.1) и (1.2). Симметрической разностью двух множеств $A$ и $B$ называется $A \bigtriangleup B=(A \backslash B) \cup (B \backslash A)$. Докажите, что