Основы теории марковских процессов

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — броуновское движение и $S_{t}=\sup_{s \leq t} X_{s}$. Покажите, что $\left(\left(X_{t}, S_{t}\right), \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс, и определите переходные вероятности.

Пусть $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — броуновское движение, $f$ — неотрицательная ограниченная борелевски измеримая функция, и $A_{t}=\int_{0}^{t} f\left(X_{s}\right) d s$. Покажите, что $\left(\left(X_{t}, A_{t}\right), \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс.

Пусть $P_{t}$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Пусть $\Omega^{\prime }$ — множество функций на $[0, \infty )$, непрерывных справа и имеющих левые пределы, пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра на $\Omega^{\prime }$, порождённая цилиндрическими подмножествами $\Omega^{\prime }$, пусть $P_{t}^{x}=x+P_{t}$, и пусть $\mathbb {P}[x]$ — закон распределения $x+P$. Покажите, что $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс, и определите переходные вероятности.

Пусть $m$ — мера на борелевских подмножествах $\mathcal{B}$ метрического пространства $\mathcal{S}$. Предположим, что для каждого $t>0$ существуют совместно измеримые неотрицательные функции $p_{t}: \mathcal{S} \times \mathcal{S} \rightarrow \mathbb {R}$, такие что $\int p_{t}(x, y) \, m(d y)=1$ для каждого $x$ и $t$, и определим

Покажите, что ядра $P_{t}$ удовлетворяют уравнениям Чепмена--Колмогорова тогда и только тогда, когда

для всех $s, t \geq 0$, всех $x \in \mathcal{S}$ и $m$-почти всех $z$.

Процесс Орнштейна--Уленбека $Y$, начатый в точке $x$, — это непрерывный гауссовский процесс с $\mathbb {E}\left[Y_{t}\right]=e^{-t / 2} x$ и ковариацией

Если $X$ — канонический процесс, а $\mathbb {P}[x]$ — закон распределения процесса Орнштейна--Уленбека, начатого в точке $x$, покажите, что $\left(X_{t}, \mathbb {P}[x]\right)$ — марковский процесс, и определите переходные вероятности.