Пуассоновские точечные процессы

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям, и $P_{t}^{1}$ и $P_{t}^{2}$ — пуассоновские процессы относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ с параметрами $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ соответственно. Предположим, что $P_{t}^{1}+P_{t}^{2}$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda_{1}+\lambda_{2}$. Докажите, что $P^{1}$ и $P^{2}$ независимы.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям, $P_{t}$ — пуассоновский процесс относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, а $W_{t}$ — броуновское движение относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$. Покажите, что если $W_{t}+P_{t}$ имеет стационарные и независимые приращения, то $P$ и $W$ независимы.

Если $H$ такое же, как в (18.1), а $N$ определено формулой (18.2), покажите, что $N$ — мартингал, $N^{c}=0$, и $[N]_{t}$ задаётся формулой (18.3).

Пусть $\left\{ A_{s}, 0<s<\infty \right\}$ — семейство подмножеств $\mathcal{S}$, такое что $\lambda \left(A_{s}\right) \rightarrow \infty$ при $s \rightarrow \infty$. Покажите, что $N_{t}\left(A_{s}\right) / \lambda \left(A_{s}\right)$ сходится к $t$ равномерно на конечных интервалах, где сходимость понимается по вероятности.

Пусть $\left\{ A_{s}, 0<s<\infty \right\}$ — семейство подмножеств $\mathcal{S}$, такое что $A_{r} \subset A_{s}$ при $r \leq s$ и $\lambda \left(A_{s}\right) \rightarrow \infty$ при $s \rightarrow \infty$. Покажите, что для каждого $t$

стремится к нулю почти наверное при $s \rightarrow \infty$.

Пусть $\mathcal{S}$ — метрическое пространство, а $\lambda$ — $\sigma$-конечная мера на $\mathcal{S}$. Постройте пуассоновский точечный процесс, для которого $\lambda$ является соответствующей мерой.

Пусть $P_{t}^{j}, j=1,2, \ldots$ — независимые пуассоновские процессы с параметром $\beta_{j}$. Пусть $X_{t}=\sum_{j=1}^{\infty } a_{j} P_{t}^{j}$, где $a_{j}$ — последовательность, такая что $X_{t}$ конечно почти наверное. Для $A \subset \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}$ определим $N_{t}(A)$ как число моментов до времени $t$, в которые $X$ совершает скачок, величина которого лежит в $A$:

Докажите, что $N_{t}$ — пуассоновский точечный процесс, и определите $\lambda$.