Процессы со скачками

Пусть $a(t)$ — детерминированная непрерывная справа неубывающая функция от $t$ с $a(0)=0$. Докажите следующие формулы:

Указание: сначала рассмотрите случай, когда $a$ имеет лишь конечное число разрывов.

Если $A_{t}$ — возрастающий процесс, а $\widetilde{A}_{t}$ — его компенсатор, покажите, что $\widetilde{A}$ скачет только тогда, когда скачет $A$.

Пусть $P_{t}^{j}, j \in \mathbb {Z}$, — независимые пуассоновские процессы с параметром $\lambda_{j}$. Пусть $\lambda_{j}=\lambda_{-j}$ для каждого $j \neq 0$. Пусть $\lambda_{j}$ убывает при возрастании $j$ для $j \geq 1$. Пусть

Определите разумные условия на последовательность $\lambda_{j}$, при которых $X$ является семимартингалом. Локальным мартингалом. Мартингалом. Локально квадратично интегрируемым мартингалом.

Покажите, что если $f(t)$ — чисто разрывная функция, то $e^{f(t)}$ тоже.

Пусть $M$ — неотрицательный непрерывный справа мартингал и $T=\inf \left\{ t>0: M_{t}=0\right\}$. Покажите, что $M_{t}=0$ при $(t>T)$.

Пусть $\mathbb {P}$ и $\mathbb {Q}$ — две эквивалентные вероятностные меры, $M_{\infty }$ — производная Радона--Никодима меры $\mathbb {Q}$ по $\mathbb {P}$, и $M_{t}=\mathbb {E}\left[M_{\infty } \mid \mathcal{F}_{t}\right]$. Покажите, что $Y_{t}$ является локальным мартингалом относительно $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда $Y_{t} M_{t}$ является локальным мартингалом относительно $\mathbb {P}$.

Пусть $X_{t}$ — возрастающий процесс с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева, $X_{0}=0$ п.н., $X$ чисто разрывен, и все скачки имеют размер только $+1$. Пусть $X_{t}-t$ — мартингал. Докажите, что $X$ — пуассоновский процесс.

Указание: подражайте доказательству теоремы 12.1. При использовании формулы Ито важно использовать тот факт, что $\Delta X_{t}$ всегда равно 0 или 1.

Пусть $X_{t}$ — возрастающий процесс с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева, $X_{0}=0$ п.н., $X$ чисто разрывен, и все скачки имеют размер только $+1$. Пусть $\lim_{t \rightarrow \infty } X_{t}=\infty$ п.н. Докажите, что $X$ является заменой времени пуассоновского процесса.

Пусть $P_{t}$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$, $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация для $P$, и $M_{t}=P_{t}-\lambda t$. Пусть $Y$ — измеримая относительно $\mathcal{F}_{1}$ случайная величина с конечным средним и дисперсией. Докажите, что существует предсказуемый процесс $H$, такой что

Пусть $P_{1}$ и $P^{2}$ — два независимых пуассоновских процесса с одинаковым параметром. Пусть $X_{t}=P_{t}^{1}-P_{t}^{2}$ и пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация для $X$. Найдите ограниченную случайную величину $Y$ с нулевым средним, измеримую относительно $\mathcal{F}_{1}$, которая не удовлетворяет

ни для какого предсказуемого процесса $H$.