Общая теория процессов

Покажите, что если $S_{1}, \ldots , S_{n}$ — предсказуемые моменты остановки, то $S_{1} \wedge \cdots \wedge S_{n}$ и $S_{1} \vee \cdots \vee S_{n}$ тоже предсказуемы.

Если $A_{t}$ — предсказуемый процесс с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева, и $a>0$, покажите, что $T=\inf \left\{ t>0: \Delta A_{t}>a\right\}$ — предсказуемый момент остановки.

Покажите, что если $T$ — предсказуемый момент остановки, $B \in \mathcal{F}_{T_{-}}$, и $T_{B}(\omega )$ определён как равный $T(\omega )$, если $\omega \in B$, и равный $\infty$ в противном случае, то $T_{B}$ — предсказуемый момент остановки.

Пусть $X$ — ограниченный согласованный непрерывный справа процесс, пусть $\varepsilon >0$, пусть $U_{0}=0$ п.н., и определим $U_{i}$ по формуле (16.3) для $i \geq 1$. Покажите, что каждое $U_{i}$ — момент остановки.

Пусть $A$ — предсказуемый возрастающий процесс, и пусть $S_{k}$ — $k$-й момент времени, когда $A$ совершает скачок больше $\varepsilon$. Таким образом, $S_{0}=0$ п.н., и $S_{k+1}=\inf \left\{ t>S_{k}: \Delta A_{t}>\varepsilon \right\}$. Покажите, что каждое $S_{k}$ — предсказуемый момент остановки.

Покажите, что моменты остановки $T_{n}$, определённые в доказательстве предложения 16.23, предсказуемы.

Из этого доказательства: $R_{1}, R_{2}, \ldots$ — счётный набор предсказуемых моментов остановки (построенных из разложения некоторых других предсказуемых моментов остановки $U_{m}^{i}$). Определим $T_{1}=R_{1}$; определим $T_{2}$, положив $T_{2}(\omega )=R_{2}(\omega )$, если $R_{2}(\omega ) \neq R_{1}(\omega )$, и $T_2(\omega ) = \infty$ в противном случае; и вообще положим $T_{n}(\omega )=R_{n}(\omega )$, если $R_{n}(\omega ) \neq R_{1}(\omega ), \ldots , R_{n-1}(\omega )$, и $T_{n}(\omega )=\infty$ в противном случае.

Покажите, что если $P_{t}$ — пуассоновский процесс, то $\left({ }^{p} P\right)_{t}=P_{t-}$.

Покажите, что если $X$ ограничен и измерим относительно произведения $\sigma$-алгебр $\mathcal{B}[0, \infty ) \times \mathcal{F}_{\infty }$, то ${ }^{p}\left({ }^{o} X\right)={ }^{p} X$.

Пусть $T$ — вполне недостижимый момент остановки. Покажите, что если $X=\; \mathbb {1}_{[T, T]}$, то ${ }^{p} X=0$.

Если $P$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$, определите $P_{t}^{o}$ и $P_{t}^{p}$.

Покажите, что $\mu_{o}$, определённая в (16.11), является мерой.

Пусть $X_{t}$ — непрерывный процесс, и пусть существует $K>0$, такое что для всех $t$

Пусть $X_{\infty }^{*}=\sup_{t \geq 0}\left|X_{t}\right|$. Докажите, что существует $a$, зависящее только от $K$, такое что

Мартингал $M$ называется принадлежащим пространству $BMO$, если

Пусть $M_{t}^{*}=\sup_{s \leq t}\left|M_{s}\right|$. Покажите, что если $M$ принадлежит $BMO$, то существует $a>0$, такое что

Название $BMO$ происходит от пространств «ограниченных средних колебаний» (bounded mean oscillation) гармонического анализа.