Вложение Скорохода

Без некоторых дополнительных условий на $T$ задача вложения Скорохода тривиальна. Пусть $W$ — броуновское движение относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, удовлетворяющей обычным условиям. Пусть $Y$ — конечная случайная величина и пусть $h$ — вещественнозначная функция такая, что $h\left(W_{1}\right)$ имеет то же распределение, что и $Y$.

Покажите, что тройной интеграл в правой части (15.10) равен выражению в $(15.11)$.

Был приведён набросок доказательства следствия 15.5. Дайте подробное доказательство.

Следствие 15.5: Пусть $W$ — броуновское движение и пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация для $W$. Пусть $Y$ — случайная величина с $\mathbb {E}\left[Y\right]=0$ и $\operatorname {Var}\left[Y\right]<\infty$. Существует момент остановки $V$ относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ такой, что $W_{V}$ имеет то же распределение, что и $Y$.

Вот ещё один подход к доказательству следствия 15.5. Пусть $Y, N, T$ и $\left\{ \mathcal{G}_{t}\right\}$ те же, что и в доказательстве теоремы 15.4.

Теорема 15.4: Пусть $Y$ — случайная величина с $\mathbb {E}\left[Y\right]=0$ и $\mathbb {E}\left[Y^{2}\right]<\infty$. Существуют броуновское движение $N$ и момент остановки $T$ относительно минимальной пополненной фильтрации $\left\{ \mathcal{G}_{t}\right\}$ процесса $N$, такие что $N_{T}$ равно по распределению $Y$. Более того, $\mathbb {E}\left[T\right]=\mathbb {E}\left[Y^{2}\right]$.

Пусть $p \in (0,1 / 2)$ и $Y$ — случайная величина, такая что $\mathbb {P}\left(Y=1\right)=\mathbb {P}\left(Y=-1\right)=p$ и $\mathbb {P}\left(Y=0\right)=1-2 p$. Пусть $W$ — броуновское движение. Пусть $S_{x}=\inf \left\{ t>0: W_{t}=x\right\}$ и пусть $T=\inf \left\{ t>S_{x} \wedge S_{-x}: W_{t} \in \left\{ -1,0,1\right\} \right\}$. Определите $x$ такое, что $W_{T}$ и $Y$ имеют одинаковое распределение.

Пусть $Y$ — случайная величина с нулевым средним, и пусть существует такое вещественное число $K>0$, что $\left|Y\right| \leq K$ п.н. Пусть $W$ — броуновское движение и пусть $T$ — момент остановки с $\mathbb {E}\left[T\right]<\infty$, такой что $W_{T}$ и $Y$ имеют одинаковое распределение. (Мы не обязательно предполагаем, что $T$ был построен методом раздела 15.2.) Пусть $S_{K}=\inf \left\{ t:\left|W_{t}\right| \geq K\right\}$. Докажите, что $T \leq S_{K}$ п.н.

Пусть $Y_{i}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с $\mathbb {P}\left(Y_{i}=1\right)=\mathbb {P}\left(Y_{i}=-1\right)=\frac{1}{2}$, и пусть $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}$. $S_{n}$ называется простым симметричным случайным блужданием. Пусть $T_{1}, T_{2}, \ldots$ и $U_{1}, U_{2}, \ldots$ те же, что и в разделе 15.3.

Пусть $S_{n}, T_{i}$ и $U_{i}$ те же, что и в упражнении 15.7. Докажите, что

Пусть $S_{n}$ — простое симметричное случайное блуждание; см. упражнение 15.7. Пусть $Y$ — ограниченная симметричная случайная величина, принимающая значения только в $\mathbb {Z}$. ($Y$ симметрична означает, что $Y$ и $-Y$ имеют одинаковое распределение.) Обязательно ли существует момент остановки $N$, такой что $S_{N}$ и $Y$ имеют одинаковое распределение? Почему да или почему нет?