Локальные времена

Пусть $f$ — функция класса $C^{2}$ с компактным носителем и

Покажите, что $g$ принадлежит классу $C^{2}$ и $g^{\prime \prime }=2 f$.

Пусть $L_{t}^{y}$ — совместно непрерывные локальные времена броуновского движения $W$. Покажите, что

Покажите, что нулевое множество можно выбрать не зависящим от $y$. Таким образом, не требуется переходить к подпоследовательности $\varepsilon_{n}$, чтобы получить почти наверное сходимость к $L_{t}^{y}$.

Пусть $W$ — броуновское движение и зафиксируем $t$. Покажите, что функция $x \rightarrow \int_{0}^{t} \; \mathbb {1}_{(-\infty , x]}\left(W_{s}\right) d s$ непрерывна п.н., но что функция $x \rightarrow \; \mathbb {1}_{(-\infty , x]}\left(W_{t}\right)$ не является непрерывной.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям. Пусть $W_{t}$ — броуновское движение и $X_{t}=W_{t}+A_{t}$, где $X_{t} \geq 0$ для всех $t$ п.н., а $A_{t}$ — возрастающий непрерывный согласованный процесс такой, что $A$ возрастает только в те моменты времени, когда $X_{t}=0$. Пусть также $X_{t}^{\prime }=W_{t}+A_{t}^{\prime }$, где $X_{t}^{\prime } \geq 0$ для всех $t$ п.н., а $A_{t}^{\prime }$ — возрастающий непрерывный согласованный процесс, который возрастает только тогда, когда $X_{t}^{\prime }=0$. Покажите, что $X_{t}^{\prime }=X_{t}$ и $A_{t}=A_{t}^{\prime }$ п.н. для всех $t \geq 0$.

Пусть $W$ — броуновское движение, а $L_{t}^{0}$ — локальное время в 0. Поскольку $L_{t}^{0}$ возрастает, для каждого $\omega$ существует мера Лебега–Стилтьеса $d L_{t}^{0}$. Покажите, что носитель $d L_{t}^{0}$ равен $\left\{ t: W_{t}=0\right\}$.

Поскольку теорема 14.1(2) утверждает, что $L_{t}^{0}$ не возрастает, когда $W_{t}$ не равно 0, требуется показать, что с вероятностью единица, если $W_{u}(\omega )=0$ и $t<u<v$, то $L_{v}^{0}(\omega )>L_{t}^{0}(\omega )$.

Используя формулу Танаки, покажите, что если $L_{t}^{y}$ — локальное время броуновского движения на уровне $y$, $a \leq x \leq y \leq b$, а $T=\inf \left\{ t>0: W_{t} \notin [a, b]\right\}$, то

Если $L_{t}^{0}$ — локальное время броуновского движения в 0, покажите, что $L_{a t}^{0}$ имеет то же распределение, что и $\sqrt{a} L_{t}^{0}$.

Пусть $W$ — броуновское движение с локальными временами $L_{t}^{y}$. Положим $L_{t}^{*}=\sup_{y} L_{t}^{y}$. Пусть $p>0$. Докажите, что существуют константы $c_{1}, c_{2}$ такие, что для любого конечного момента остановки $T$

Константы $c_{1}, c_{2}$ могут зависеть от $p$, но не от $T$.

Указание: Используйте упражнение 12.11.

Это упражнение определяет локальное время непрерывного мартингала. Если $M$ — непрерывный мартингал, то $M_{t}^{2}$ — субмартингал, и поэтому он равен сумме мартингала и возрастающего процесса. Возрастающий процесс $L_{t}^{0}$ называется локальным временем $M$ в 0.

Это упражнение дополняет упражнение 7.8. Пусть $W$ — броуновское движение и определим $Z=\left\{ t \in [0,1]: W_{t}=0\right\}$, множество нулей. Пусть $\varepsilon \in (0,1 / 2)$ и пусть $\delta >0$. Зафиксируем $\omega$ и пусть $\left\{ B_{i}\right\}$ — произвольное счётное покрытие $Z(\omega )$ замкнутыми интервалами такое, что внутренности множеств $B_{i}$ попарно не пересекаются и длина каждого $B_{i}$ не превосходит $\delta$. Запишем $B_{i}=\left[a_{i}, b_{i}\right]$.

Пусть $\varepsilon >0$. Поскольку $L^{0}$ имеет то же распределение, что и максимум броуновского движения, существует константа $c$ (зависящая от $\omega$) такая, что

для каждого $0 \leq s \leq t \leq 0$. Запишем

Покажите, что отсюда следует, что хаусдорфова размерность $Z$ не менее $1 / 2$.