Теорема Гирсанова

То, удовлетворяет ли фильтрация обычным условиям, зависит от класса нулевых множеств, а значит, важна используемая вероятностная мера. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ удовлетворяет обычным условиям относительно $\mathbb {P}$, $H$ — ограниченный предсказуемый процесс, $W$ — броуновское движение относительно $\mathbb {P}$, $M$ определён по (13.3), а $\mathbb {Q}$ определена по (13.4). Если $t_{0}>0$ и $A \in \sigma \left(W_{s} ; s \leq t_{0}\right)$, покажите, что $\mathbb {P}\left(A\right)=0$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {Q}(A)=0$.

Теорема 9.10 позволяет избежать некоторых вычислений в последнем абзаце доказательства теоремы 13.3. Пусть $X$ — непрерывный семимартингал относительно $\mathbb {P}$, а $\mathbb {Q}$ — вероятностная мера, эквивалентная $\mathbb {P}$. То есть множество является нулевым для $\mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда оно является нулевым для $\mathbb {Q}$. Покажите, что $X$ является семимартингалом относительно $\mathbb {Q}$ и что квадратическая вариация $X$ относительно $\mathbb {P}$ равна квадратической вариации $X$ относительно $\mathbb {Q}$.

Пусть $W=\left(W^{1}, \ldots , W^{d}\right)$ — $d$-мерное броуновское движение с минимальной пополненной фильтрацией $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, и пусть $H_{1}, \ldots , H_{d}$ — ограниченные предсказуемые процессы. Пусть

Определим вероятностную меру $\mathbb {Q}$, полагая $\mathbb {Q}(A)=\mean_{\mathbb {P}}\left[M_{t} ; A\right]$, если $A \in \mathcal{F}_{t}$. Пусть $\widetilde{W}_{t}^{i}=W_{t}^{i}-$ $\int_{0}^{t} H_{i}(s) d s$ для каждого $i$. Докажите, что $\widetilde{W}=\left(\widetilde{W}^{1}, \ldots , \widetilde{W}^{d}\right)$ является $d$-мерным броуновским движением относительно $\mathbb {Q}$.

Пусть $W_{t}$ — $d$-мерное броуновское движение и пусть $\delta , t_{0}>0$. Пусть $f:\left[0, t_{0}\right] \rightarrow \mathbb {R}^{d}$ — непрерывная функция. Докажите, что существует константа $c$ такая, что

Это известно как теорема о носителе для броуновского движения.

Указание: Сначала предположите, что $f$ имеет ограниченную производную. Используйте упражнение 4.9 и теорему Гирсанова.

Вот более общая форма теоремы Гирсанова. Пусть $L_{t}$ — ограниченный непрерывный мартингал относительно $\mathbb {P}$, $M_{t}=e^{L_{t}-\langle L\rangle_{t}/2}$, а $\mathbb {Q}$ — вероятностная мера, определённая как $\mathbb {Q}(A)=\mathbb {E}_{\mathbb {P}}\left[M_{t_{0}} ; A\right]$, если $A \in \mathcal{F}_{t_{0}}$. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям как относительно $\mathbb {P}$, так и относительно $\mathbb {Q}$. Покажите, что если $X$ — мартингал относительно $\mathbb {P}$, то $X_{t}-\langle X, L\rangle_{t}$ является мартингалом относительно $\mathbb {Q}$.