Некоторые приложения формулы Ито

Покажите, что $W_{t}$ и $W_{t}^{2}-t$ являются локальными мартингалами, где $W$ определено в формулировке Теоремы 12.2.

Предположим, что $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям, $X$ — броуновское движение относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, а $T$ — конечный момент остановки относительно этой же фильтрации. Пусть $Y$ — другое броуновское движение, независимое от $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, и определим

Покажите, что $Z$ является броуновским движением (хотя не обязательно относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$).

Предположим, что $M_{t}$ — непрерывный локальный мартингал относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, удовлетворяющей обычным условиям, $T$ — момент остановки относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, и $\langle M\rangle_{t}=t \wedge T$. Докажите, что $M_{t \wedge T}$ имеет то же распределение, что и броуновское движение, остановленное в момент времени $T$.

Вот многомерная версия теоремы Леви. Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям. Предположим, что $\left(M_{t}^{1}, \ldots , M_{t}^{d}\right)$ — $d$-мерный процесс такой, что каждая компонента $M_{t}^{i}$ является непрерывным мартингалом относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ с $\left\langle M^{i}\right\rangle_{t}=t$. Предположим, что $\left\langle M^{i}, M^{j}\right\rangle_{t}=0$ при $i \neq j$. Докажите, что $\left(M_{t}^{1}, \ldots , M_{t}^{d}\right)$ является $d$-мерным броуновским движением.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям. Пусть $A_{t}$ — строго возрастающий непрерывный процесс, согласованный с $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$, с $\lim_{t \rightarrow \infty } A_{t}=\infty$ п.н. Предположим, что $\left(M_{t}^{1}, \ldots , M_{t}^{d}\right)$ — $d$-мерный процесс такой, что каждая компонента $M_{t}^{i}$ является непрерывным мартингалом относительно $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ и $\left\langle M^{i}\right\rangle_{t}=A_{t}$. Предположим, что $\left\langle M^{i}, M^{j}\right\rangle_{t}=0$ при $i \neq j$. Докажите, что $\left(M_{t}^{1}, \ldots , M_{t}^{d}\right)$ является заменой времени $d$-мерного броуновского движения.

Предположим, что $M$ — непрерывный локальный мартингал такой, что $\langle M\rangle_{t}$ детерминировано. Докажите, что $M$ является гауссовским процессом.

Предположим, что $M$ — непрерывный локальный мартингал с $M_{0}=0$ п.н. Покажите, что существуют броуновское движение $W$, возрастающий процесс $\tau_{t}$ и момент остановки $T$ такие, что $M_{t}=W_{\tau_{\iota } \wedge T}$ для всех $t$.

Пусть $M_{t}$ — непрерывный локальный мартингал. Покажите, что события $\left(M_{\infty }^{*}<\infty \right)$ и $\left(\langle M\rangle_{\infty }<\infty \right)$ отличаются не более чем на множество меры нуль.

Пусть $M_{t}$ — непрерывный локальный мартингал. Докажите, что

Предположим, что $X$ и $Y$ — непрерывные семимартингалы и $t_{0}>0$. Докажите, что

сходится к $\langle X, Y\rangle_{t_{0}}$ по вероятности.

Пусть $p>0$. Предположим, что $X$ и $Y$ — неотрицательные случайные величины, $\beta >1, \delta \in (0,1)$, и $\varepsilon \in \left(0, \beta^{-p} / 2\right)$ такие, что

для всех $\lambda >0$. Это неравенство известно как хорошее-$\lambda$ неравенство. Докажите, что существует константа $c$ (зависящая от $\beta , \delta , \varepsilon$ и $p$, но не от $X$ или $Y$) такая, что

Указание: Сначала предположите, что $X$ ограничено. Запишите

Умножьте на $p \lambda^{p-1}$, проинтегрируйте по $\lambda$ и используйте то, что $\varepsilon <\beta^{-P} / 2$.

Используя Упражнение 12.11, докажите, что неравенства Буркхольдера-Дэвиса-Ганди выполняются для всех $p>0$.

Указание: Используйте замену времени, чтобы свести к случаю броуновского движения $W$. Если $T$ — момент остановки и $U=\inf \left\{ t: W_{T}^{*}>\lambda \right\}$, запишите

Условившись по $\mathcal{F}_{U}$, используйте Теорему 4.2 и заметьте, что $\mathbb {P}\left(U<\infty \right)=\mathbb {P}\left(W_{T}^{*}>\lambda \right)$.

Определим норму $H^{1}$ мартингала формулой

Докажите, что это норма. Существует ли равномерно интегрируемый непрерывный мартингал, не принадлежащий $H^{1}$?

Пусть $W$ — броуновское движение и пусть $T$ — момент остановки. Докажите, что если $\mathbb {E}\left[T^{1 / 2}\right]<\infty$, то $\mathbb {E}\left[W_{T}\right]=0$.

Пусть $W=\left(W^{1}, \ldots , W^{d}\right)$ — $d$-мерное броуновское движение, начинающееся в 0, и пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальная пополненная фильтрация $W$. Пусть $Y$ — $\mathcal{F}_{1}$-измеримая случайная величина с нулевым средним и конечной дисперсией. Докажите, что существуют предсказуемые процессы $H^{1}, \ldots , H^{d}$ такие, что $\mathbb {E}\left[\int_{0}^{1}\left(H_{s}^{i}\right)^{2} d s\right]<\infty$ для каждого $i$ и

Пусть $W$ — броуновское движение, а $H$ — согласованный, ограниченный и непрерывный справа процесс. Пусть $t \geq 0$. Покажите, что

сходится по вероятности к $H_{t}$.

Пусть $W$ — броуновское движение и $\alpha >0$. Покажите, что

бесконечен почти наверное, если $\alpha \geq 1$, но конечен почти наверное, если $\alpha <1$.

Вот полезное неравенство. Пусть $A$ — возрастающий процесс с $A_{0}=0$ п.н., и пусть существует неотрицательная случайная величина $B$ такая, что для каждого $t$

Докажите, что для каждого целого $p \geq 1$ существует константа $c_{p}$, зависящая только от $p$, такая, что

Указание: Запишите

возьмите математическое ожидание и используйте предложение 3.14.

Пусть $W$ — одномерное броуновское движение с фильтрацией $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ и пусть $f(r, s)$ — детерминированная функция. Определим кратный стохастический интеграл как

при условии, что

и аналогично для кратных стохастических интегралов более высокого порядка.