Банк задач по математике

Задача 11.1

Предположим, что $W_{t}$ — броуновское движение и $a \in \mathbb {R}$ . Покажите, что время, проводимое броуновским движением в точке $a$ , равно нулю, т.е. что

\int _{0}^{t} \; \mathbb {1}_{\left\{ a\right\} }\left(W_{s}\right) d s=0, \quad \text{ п.н. }

для всех $t>0$ .

?

Задача 11.2

Пусть $a<b$ и пусть $f_{a, b}$ — функция класса $C^{1}$ , такая что $f_{a, b}(0)=f_{a, b}^{\prime }(0)=0$ и

f_{a, b}^{\prime }(x)=\int _{0}^{x} \; \mathbb {1}_{[a, b]}(y) d y, \quad x \in \mathbb {R}

Другими словами, $f_{a, b}$ — функция, второй производной которой является $\; \mathbb {1}_{[a, b]}$ , за исключением того, что вторая производная не определена в точках $a$ и $b$ . Покажите, что формула Итô выполняется для $f_{a, b}$ :

f_{a, b}\left(W_{t}\right)=\int _{0}^{t} f_{a, b}^{\prime }\left(W_{s}\right) d W_{s}+\frac{1}{2} \int _{0}^{t} \; \mathbb {1}_{[a, b]}\left(W_{s}\right) d s

?

Задача 11.3

Если $W_{t}$ — броуновское движение, $a>0$ , и $T=\inf \left\{ t>0:\left|W_{t}\right|=a\right\}$ , вычислите $\mathbb {E}\left[\int_{0}^{T}\left(W_{s}\right)^{k} d s\right]$ для каждого неотрицательного целого $k$ . Также вычислите

\mathbb {E}\left[\int _{0}^{T} \; \mathbb {1}_{\left[b_{1}, b_{2}\right]}\left(W_{s}\right) d s\right]

если $\left[b_{1}, b_{2}\right] \subset [-a, a]$ .

?

Задача 11.4

Пусть $W$ — броуновское движение, пусть $t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1$ , и пусть

B_{i}=\left(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}\right)^{2}-\left(t_{i}-t_{i-1}\right) .

Покажите, что существует константа $c_{1}$ , не зависящая от $\left\{ t_{0}, \ldots , t_{n}\right\}$ , такая что

\mathbb {E}\left[\sum _{i=1}^{n} B_{i}\right]^{2} \leq c_{1} \max _{1 \leq i \leq n}\left|t_{i}-t_{i-1}\right|

?

Задача 11.5

Используя Упражнение 11.4 и лемму Бореля-Кантелли, докажите, что если $W$ — броуновское движение, то

\lim _{n \rightarrow \infty } \sum _{k=1}^{2^{n}}\left(W_{k / 2^{n}}-W_{(k-1) / 2^{n}}\right)^{2}=1, \quad \text{ п.н. }

?

Задача 11.6

(1)(2)

В нашем доказательстве формулы Итô использование моментов остановки существенно упрощает доказательство. В этом упражнении рассматривается доказательство формулы Итô с использованием фиксированных моментов времени. Предположим, что $M$ — ограниченный непрерывный мартингал, $A$ — непрерывный процесс, траектории которого имеют полную вариацию, ограниченную $N>0$ п.н., и $X_{t}=M_{t}+A_{t}$ .

?

(1)

Записывая $[x]$ для целой части $x$ , докажите, что для каждого $t$

\sum _{i=1}^{\left[2^{n} t\right]+1}\left(X_{(i+1) / 2^{n}}-X_{i / 2^{n}}\right)^{2}

сходится по вероятности к $\langle X\rangle_{t}$ .

(2)

Докажите, что если $f$ — функция класса $C^{2}$ , вторая производная которой ограничена, то

\sum _{i=1}^{\left[2^{n} t\right]+1} f^{\prime \prime }\left(X_{i / 2^{n}}\right)\left(X_{(i+1) / 2^{n}}-X_{i / 2^{n}}\right)^{2}

сходится по вероятности к

\int _{0}^{t} f^{\prime \prime }\left(X_{s}\right) d\left\langle X_{s}\right\rangle

Поскольку приращения $M$ и $A$ не ограничены равномерно чем-то малым, это гораздо сложнее, чем доказательство Теоремы 11.1, приведённое в этой главе.

Задача 11.7

(1)(2)(3)

Вот альтернативный способ доказать формулу Итô.

?

(1)

Предположим, что $X=M+A$ , где $M$ и $A$ такие же, как в Упражнении 11.6. Запишем

\begin{aligned} X_{t}^{2}-X_{0}^{2} & =\sum _{i=0}^{\left[t 2^{n}\right]-1}\left(X_{(i+1) / 2^{n}}^{2}-X_{i / 2^{n}}^{2}\right) \\ & =\sum _{i=0}^{\left[t 2^{n}\right]-1} 2 X_{i / 2^{n}}\left(X_{(i+1) / 2^{n}}-X_{i / 2^{n}}\right)+\sum _{i=0}^{\left[t 2^{n}\right]-1}\left(X_{(i+1) / 2^{n}}-X_{i / 2^{n}}\right)^{2} \end{aligned}

Используя Упражнение 11.6, покажите, что формула Итô выполняется при $f(x)=x^{2}$ .

(2)

Выведите формулу произведения Итô. Затем, используя индукцию, покажите, что формула Итô выполняется при $f(x)=x^{n}$ , где $n$ — натуральное число.

(3)

Пусть $f \in C^{2}$ ; найдите многочлены $P_{m}$ такие, что $P_{m}, P_{m}^{\prime }, P_{m}^{\prime \prime }$ равномерно сходятся к $f, f^{\prime }, f^{\prime \prime }$ соответственно на компактном интервале при $m \rightarrow \infty$ . Примените формулу Итô для $P_{m}$ и покажите, что можно перейти к пределу, чтобы получить формулу Итô для $f$ .

Формула Ито