Стохастические интегралы

Докажите (10.5) в Предложении 10.3.

Постановка: пусть $M$ — квадратично интегрируемый мартингал и предположим, что

где каждое $K_{j}$ — $\mathcal{F}_{a_{j}}$-измеримо и ограничено, а интервалы $\left(a_{j}, b_{j}\right]$ удовлетворяют $a_{1}<b_{1} \leq a_{2}<b_{2} \leq \cdots \leq a_{J}<b_{J}$. Определим

Предложение 10.3: При $H$, как в (10.3), и $N$, определённом формулой (10.4), $N_{t}$ является непрерывным мартингалом,

и

Проверьте согласованность первых двух расширений определения стохастических интегралов.

Покажите, что если $M$ — непрерывный квадратично интегрируемый мартингал, а $T$ — конечный момент остановки, то

Покажите, что если $N_{t}=\int_{0}^{t} H_{s} d M_{s}$, где $M$ — непрерывный квадратично интегрируемый мартингал, $H$ предсказуем и $\mathbb {E}\left[\int_{0}^{\infty } H_{s}^{2} d\langle M\rangle_{s}\right]<\infty$, а $L_{t}=\int_{0}^{t} K_{s} d N_{s}$, где $K$ предсказуем и $\mathbb {E}\left[\int_{0}^{\infty } K_{s}^{2} d\langle N\rangle_{s}\right]<\infty$, то

Покажите, что если $M, H$ и $N$ таковы, как в Упражнении 10.4, то $\langle M, N\rangle_{t}=\int_{0}^{t} H_{s} d\langle M\rangle_{s}$.

Указание: Выведите формулу для $\langle N+M\rangle_{t}$, исходя из того, что

Предположим, что $M$ и $L$ — квадратично интегрируемые мартингалы, $H$ предсказуем и удовлетворяет (10.2), а $N_{t}=\int_{0}^{t} H_{s} d M_{s}$. Покажите, что

Иногда стохастический интеграл от $H$ по $M$ определяют как квадратично интегрируемый мартингал $N$, для которого (10.13) выполняется для всех квадратично интегрируемых мартингалов $L$.

Покажите, что если $M$ и $N$ — квадратично интегрируемые мартингалы с непрерывными траекториями, то

Указание: Повторите подходящее доказательство неравенства Коши-Шварца. Этот результат — частный случай неравенства Кунита-Ватанабе.