Основные понятия

Этот пример показывает, что $\left\{ \mathcal{F}_{t}^{00}\right\}$, определённое согласно (1.1), не является непрерывным справа. Пусть $\Omega =\left\{ a, b\right\}$, пусть $\mathcal{F}$ — семейство всех подмножеств $\Omega$, и пусть $\mathbb {P}\left(\left\{ a\right\} \right)=\mathbb {P}\left(\left\{ b\right\} \right)=\frac{1}{2}$. Определим

Вычислите $\mathcal{F}_{t}^{00}=\sigma \left(X_{s} ; s \leq t\right)$ и покажите, что $\left\{ \mathcal{F}_{t}^{00}\right\}$ не является непрерывным справа.

Пусть $X$ — случайный процесс, и пусть $\mathcal{F}_{t}^{00}, \mathcal{F}_{t}^{0}$ и $\mathcal{F}_{t}$ определены формулами (1.1), (1.2) и (1.3) соответственно. Покажите, что $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ является минимальным пополненным потоком $\sigma$-алгебр, порождённым $X$.

Пусть $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — поток $\sigma$-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям, и пусть $\mathcal{B}[0, t]$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $[0, t]$. Вещественнозначный случайный процесс $X$ называется прогрессивно измеримым, если для каждого $t \geq 0$ отображение $(s, \omega ) \rightarrow X(s, \omega )$ из $[0, t] \times \Omega$ в $\mathbb {R}$ измеримо относительно произведения $\sigma$-алгебр $\mathcal{B}[0, t] \times \mathcal{F}_{t}$.

Пусть $\mathcal{S}=\mathbb {R}^{[0,1]}$ — множество функций из $[0,1]$ в $\mathbb {R}$, и пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая цилиндрическими множествами. Цель этого упражнения — показать, что элементы $\mathcal{F}$ зависят лишь от счётного числа координат.

Пусть $\mathcal{S}_{0}=\left\{ (x_{1}, x_{2}, \ldots )\right\}$ — множество последовательностей, принимающих значения в $\mathbb {R}$. Пусть $\mathcal{F}_{0}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая цилиндрическими подмножествами $\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$, где $\mathbb {N}=\left\{ 1,2,\ldots \right\}$.

Покажите, что $B \in \mathcal{F}$ тогда и только тогда, когда существуют $t_{1}, t_{2}, \ldots$ в $[0,1]$ и множество $C \in \mathcal{F}_{0}$ такие, что

Множества нулевой меры иногда важны! Пусть $\mathcal{S}$ и $\mathcal{F}$ те же, что в упражнении 1.4. Покажите, что $D \notin \mathcal{F}$, где

Пусть $X$ — случайный процесс, $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — его минимальный пополненный поток $\sigma$-алгебр, и $\mathcal{F}_{\infty }=\vee_{t \geq 0} \mathcal{F}_{t}$. Предположим, что с вероятностью единица траектории $X$ непрерывны справа и имеют пределы слева. Пусть $X_{t-}=\lim_{s<t, s \rightarrow t} X_{s}$ — предел слева в момент времени $t$, и $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}$ — величина скачка в момент времени $t$. Если

докажите, что $A \in \mathcal{F}_{\infty }$.

Пусть $X$ — случайный процесс, $\left\{ \mathcal{F}_{t}\right\}$ — минимальный пополненный поток $\sigma$-алгебр для $X$, и $\mathcal{F}_{\infty }=\vee_{t \geq 0} \mathcal{F}_{t}$. Если траектории $X$ с вероятностью единица непрерывны справа и имеют пределы слева, покажите, что событие

принадлежит $\mathcal{F}_{\infty }$.