Продвинутый анализ: обзор

Выразите следующие множества в виде $\left\{ x: x \text{ обладает свойством } p\right\}$.

Приведите пример множеств $A_{1}, A_{2}$ таких, что $A_{1} \cap A_{2} \neq A_{1} \cup A_{2}$.

Пусть $I = [0,1], \Omega = \mathbb {R}$, и для $\alpha \in \mathbb {R}, A_{\alpha } = (\alpha -1, \alpha +1)$ — открытый интервал $\left\{ x: \alpha -1 < x < \alpha +1\right\}$.

При $\Omega \equiv \mathbb {N} \equiv \left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$ найдите $A^{c}$ в следующих случаях:

Покажите, что $X \equiv \left\{ 0,1\right\}^{\mathbb {N}}$ — множество всех последовательностей $\left\{ \omega_{i}\right\}_{i \in \mathbb {N}}$, где каждое $\omega_{i} \in \left\{ 0,1\right\}$, — несчётно. Заключите, что $\mathcal{P}(\mathbb {N})$ несчётно.

Покажите, что если $\Omega_{i}$ счётно для каждого $i \in \mathbb {N}$, то для каждого $k \in \mathbb {N}$, $\times { }_{i = 1}^{k} \Omega_{i}$ счётно, и $\cup_{i \in \mathbb {N}} \Omega_{i}$ также счётно, но $\times_{i \in \mathbb {N}} \Omega_{i}$ несчётно.

Покажите, что множество всех многочленов от $x$ с целыми коэффициентами счётно.

Покажите, что свойство полной упорядоченности влечёт принцип индукции.

Примените принцип индукции, чтобы установить следующее:

Проверьте, что на $\mathbb {R}$ отношение $x \sim y$, если $x-y$ рационально, является отношением эквивалентности, а отношение $x \sim y$, если $x-y$ иррационально, — нет.

Покажите, что множество $A = \left\{ r: r \in \mathbb {Q}, r^{2} < 2\right\}$ ограничено сверху в $\mathbb {Q}$, но не имеет точной верхней грани в $\mathbb {Q}$.

Покажите, что для любых двух последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1},\left\{ y_{n}\right\}_{n \geq 1} \subset \mathbb {R}$,

Проверьте, что $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a \in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\underset {n \rightarrow \infty }{\lim } x_{n} = \varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a$.

Установите предложение A.2.3.

Покажите, что ряд $\sum_{j = 2}^{\infty } \frac{1}{j(\log j)^{p}}$ сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.

Найдите радиус сходимости $\rho$ степенного ряда $A(x) \equiv \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}$, где

Пусть $S = \left\{ z: z \in \mathbb {C},\left|z\right| = 1\right\}$ — единичная окружность. Используя параметризацию $t \rightarrow e^{\iota t} = (\cos t+\iota \sin t)$ из $[0,2 \pi ]$ в $S$, покажите, что длина дуги $S$ (т.е. длина окружности предельного круга) равна $2 \pi$.

Положим $\phi (t) = \frac{\sin t}{\cos t}$ для $-\frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$. Проверьте, что $\phi^{\prime } = 1+\phi^{2}$ и что $\phi :\left(-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right)$ в $(-\infty , \infty )$ строго монотонно возрастает и сюръективна. Заключите, что

Используя свойство $e^{\iota \frac{\pi }{2}} = \iota$, проверьте, что для всех $t$ в $\mathbb {R}$

Также покажите, что $\cos t$ является строго убывающим отображением из $[0, \pi ]$ на $[-1,1]$, а $\sin t$ является строго возрастающим отображением из $\left[-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right]$ на $[-1,1]$.

Используя (i) теоремы A.3.1, выразите $\cos \left(t_{1}+t_{2}\right), \sin \left(t_{1}+t_{2}\right)$ через $\cos t_{i}, \sin t_{i}, i = 1,2$, и, в свою очередь, используйте это, чтобы доказать следствие A.3.4 из теоремы A.3.3.

Проверьте, что $p_{n}(z) \equiv \left(1+\frac{z}{n}\right)^{n}$ сходится к $e^{z}$ равномерно на ограниченных множествах в $\mathbb {C}$.

Пусть $\mathbb {S} = C[0,1]$ — множество всех действительнозначных непрерывных функций на $[0,1]$. Теперь пусть

Покажите, что все они являются метриками на $\mathbb {S}$.

Пусть $\mathbb {S} = \mathbb {R}^{\infty } \equiv \left\{ \left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}: x_{n} \in \mathbb {R} \text{ для всех } n \geq 1\right\}$ — пространство всех последовательностей действительных чисел. Пусть $d\left(\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1},\left\{ y_{n}\right\}_{n \geq 1}\right) = \sum_{j = 1}^{\infty }\left(\frac{\left|x_{j}-y_{j}\right|}{1+\left|x_{j}-y_{j}\right|}\right) \frac{1}{2^{j}}$. Покажите, что $(\mathbb {S}, d)$ является польским пространством.

Если $s_{k} = \left\{ x_{k n}\right\}_{n \geq 1}$ и $s = \left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}$ являются элементами $\mathbb {S} = \mathbb {R}^{\infty }$, как в задаче A.26, проверьте, что при $k \rightarrow \infty , s_{k} \rightarrow s$ тогда и только тогда, когда $x_{k n} \rightarrow x_{n}$ для всех $n \geq 1$.

Установите теорему A.4.1.

Пусть $\mathbb {S} = C[0,1]$ и $d_{p}(f, g) \equiv \left(\int_{0}^{1}|f(t)-g(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}$ для $1 \leq p < \infty$ и $d_{\infty }(f, g) = \sup \left\{ \left|f(t)-g(t)\right|: t \in [0,1]\right\}$.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 1}$ — сходящаяся последовательность в метрическом пространстве $(\mathbb {S}, d)$, то она фундаментальна.

Проверьте (b) примера A.4.2, исходя из аксиом действительных чисел (ср. предложение A.2.3). Проверьте (c) того же примера, исходя из (b).

Пусть $\mathbb {S} = C[0,1]$, а $d$ — метрика супремума, т.е.

Приближая любую непрерывную функцию кусочно-линейными функциями с рациональными концами и рациональными значениями, покажите, что $(\mathbb {S}, d)$ является польским, т.е. полным и сепарабельным.

Покажите, что функция $f(x) = x^{2}$ непрерывна на $\mathbb {R}$, равномерно непрерывна на любом ограниченном множестве $B \subset \mathbb {R}$, но не равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$.

Покажите, что объединения открытых множеств открыты, а пересечение любых двух открытых множеств открыто. Приведите пример, показывающий, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не обязательно открыто.

Докажите теорему A.4.3.

Пусть $f_{n}(x) = x^{n}$ и $g(x) \equiv 0$ на $\mathbb {R}$. Тогда $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}$ сходится поточечно к $g$ на $(-1,1)$, равномерно на $[a, b]$ для $-1 < a < b < 1$, но не равномерно на $(0,1)$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}, f \in C[0,1]$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n \geq 1}$ сходится к $f$ равномерно на $[0,1]$. Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| d x = 0$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} f_{n}(x) = \int_{0}^{1} f(x) d x$.

Дайте доказательство предложения A.2.6 (vi) (почленная дифференцируемость степенного ряда), используя предложение A.2.7 (iv) (основную теорему интегрирования Римана).